Завдання 19.17, 19. Сума n перших членів геометричної прогресії

Розв’язання крок за кроком

1. Якщо $a=1$, обидві частини дорівнюють $0$.

2. Якщо $a\ne 1$, то $1+a+\dots +a^{n-1}$ — сума $n$ членів геометричної прогресії з $b_1=1$, $q=a$: вона дорівнює $\frac{a^n-1}{a-1}$.

3. Отже, $(a-1)(a^{n-1}+\dots +a+1)=(a-1)\cdot \frac{a^n-1}{a-1}=a^n-1$.