Завдання 18.34, 18. Геометрична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 18.34

Перший член і знаменник із системи (2)

Знайдіть $b_{1}$ і $q$ геометричної прогресії, якщо: 1) $b_{4} - b_{2} = 30$ і $b_{4} - b_{3} = 24$ ; 2) $b_{2} - b_{5} = 78$ і $b_{3} + b_{4} + b_{5} = - 117$ .

Розв’язання

1) $b_{1} q (q^{2} - 1) = 30$ , $b_{1} q^{2} (q - 1) = 24$ . Ділимо: $\frac{q + 1}{q} = \frac{5}{4}$ , $4 q + 4 = 5 q$ , $q = 4$ . Тоді $b_{1} \cdot 16 \cdot 3 = 24$ , $b_{1} = \frac{1}{2}$ .
Перевірка 1): $b_{2} = 2$ , $b_{3} = 8$ , $b_{4} = 32$ ; $32 - 2 = 30$ , $32 - 8 = 24$ .
2) $b_{1} q (1 - q^{3}) = b_{1} q (1 - q) (1 + q + q^{2}) = 78$ , $b_{1} q^{2} (1 + q + q^{2}) = - 117$ . Ділимо: $\frac{1 - q}{q} = - \frac{2}{3}$ , $3 - 3 q = - 2 q$ , $q = 3$ .
$b_{1} \cdot 9 \cdot 13 = - 117$ , $b_{1} = - 1$ . Перевірка: $b_{2} = - 3$ , $b_{5} = - 81$ , $- 3 + 81 = 78$ ; $- 9 - 27 - 81 = - 117$ .

Відповідь:

1) $b_{1} = \frac{1}{2}$ , $q = 4$ ; 2) $b_{1} = - 1$ , $q = 3$ .

Розбір зрозумілий?

18. Геометрична прогресія Завдання 18.34 с. 175

Перший член і знаменник із системи (2)

Умова

Знайдіть $b_{1}$ і $q$ геометричної прогресії, якщо: 1) $b_{4} - b_{2} = 30$ і $b_{4} - b_{3} = 24$ ; 2) $b_{2} - b_{5} = 78$ і $b_{3} + b_{4} + b_{5} = - 117$ .

Що треба знати

Кожен член записуємо як $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ . Отримуємо систему відносно $b_{1}$ і $q$ ; її зручно розв’язувати діленням одного рівняння на інше — тоді $b_{1}$ скорочується.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У другому використай 1 − q³ = (1 − q)(1 + q + q²).

Розв’язання крок за кроком

1) $b_{1} q (q^{2} - 1) = 30$ , $b_{1} q^{2} (q - 1) = 24$ . Ділимо: $\frac{q + 1}{q} = \frac{5}{4}$ , $4 q + 4 = 5 q$ , $q = 4$ . Тоді $b_{1} \cdot 16 \cdot 3 = 24$ , $b_{1} = \frac{1}{2}$ .
Перевірка 1): $b_{2} = 2$ , $b_{3} = 8$ , $b_{4} = 32$ ; $32 - 2 = 30$ , $32 - 8 = 24$ .
2) $b_{1} q (1 - q^{3}) = b_{1} q (1 - q) (1 + q + q^{2}) = 78$ , $b_{1} q^{2} (1 + q + q^{2}) = - 117$ . Ділимо: $\frac{1 - q}{q} = - \frac{2}{3}$ , $3 - 3 q = - 2 q$ , $q = 3$ .
$b_{1} \cdot 9 \cdot 13 = - 117$ , $b_{1} = - 1$ . Перевірка: $b_{2} = - 3$ , $b_{5} = - 81$ , $- 3 + 81 = 78$ ; $- 9 - 27 - 81 = - 117$ .

Відповідь:

1) $b_{1} = \frac{1}{2}$ , $q = 4$ ; 2) $b_{1} = - 1$ , $q = 3$ .

Розбір зрозумілий?