Завдання 18.33, 18. Геометрична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 18.33

Перший член і знаменник із системи (1)

Знайдіть $b_{1}$ і $q$ геометричної прогресії, якщо: 1) $b_{5} = 9 b_{3}$ і $b_{6} - b_{2} = 480$ ; 2) $b_{5} - b_{4} = 168$ і $b_{3} + b_{4} = - 28$ .

Розв’язання

1) $b_{1} q^{4} = 9 b_{1} q^{2}$ , отже, $q^{2} = 9$ , $q = \pm 3$ . $b_{6} - b_{2} = b_{1} q (q^{4} - 1) = 80 b_{1} q = 480$ , тобто $b_{1} q = 6$ .
$q = 3$ : $b_{1} = 2$ ; $q = - 3$ : $b_{1} = - 2$ .
2) $b_{1} q^{3} (q - 1) = 168$ , $b_{1} q^{2} (1 + q) = - 28$ . Ділимо: $\frac{q ( q - 1 )}{q + 1} = - 6$ , $q^{2} - q = - 6 q - 6$ , $q^{2} + 5 q + 6 = 0$ , $q = - 2$ або $q = - 3$ .
$q = - 2$ : $b_{1} \cdot 4 \cdot (- 1) = - 28$ , $b_{1} = 7$ . $q = - 3$ : $b_{1} \cdot 9 \cdot (- 2) = - 28$ , $b_{1} = \frac{14}{9}$ .
Перевірка для $b_{1} = 7$ , $q = - 2$ : $b_{4} = - 56$ , $b_{5} = 112$ , $b_{5} - b_{4} = 168$ ; $b_{3} = 28$ , $b_{3} + b_{4} = - 28$ .

Відповідь:

1) $b_{1} = 2$ , $q = 3$ або $b_{1} = - 2$ , $q = - 3$ ; 2) $b_{1} = 7$ , $q = - 2$ або $b_{1} = \frac{14}{9}$ , $q = - 3$ .

Розбір зрозумілий?

18. Геометрична прогресія Завдання 18.33 с. 175

Перший член і знаменник із системи (1)

Умова

Знайдіть $b_{1}$ і $q$ геометричної прогресії, якщо: 1) $b_{5} = 9 b_{3}$ і $b_{6} - b_{2} = 480$ ; 2) $b_{5} - b_{4} = 168$ і $b_{3} + b_{4} = - 28$ .

Що треба знати

Кожен член записуємо як $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ . Отримуємо систему відносно $b_{1}$ і $q$ ; її зручно розв’язувати діленням одного рівняння на інше — тоді $b_{1}$ скорочується.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У другому пункті поділи перше рівняння на друге: b₁q²(q + 1) скоротиться не повністю — вийде рівняння відносно q.

Розв’язання крок за кроком

1) $b_{1} q^{4} = 9 b_{1} q^{2}$ , отже, $q^{2} = 9$ , $q = \pm 3$ . $b_{6} - b_{2} = b_{1} q (q^{4} - 1) = 80 b_{1} q = 480$ , тобто $b_{1} q = 6$ .
$q = 3$ : $b_{1} = 2$ ; $q = - 3$ : $b_{1} = - 2$ .
2) $b_{1} q^{3} (q - 1) = 168$ , $b_{1} q^{2} (1 + q) = - 28$ . Ділимо: $\frac{q ( q - 1 )}{q + 1} = - 6$ , $q^{2} - q = - 6 q - 6$ , $q^{2} + 5 q + 6 = 0$ , $q = - 2$ або $q = - 3$ .
$q = - 2$ : $b_{1} \cdot 4 \cdot (- 1) = - 28$ , $b_{1} = 7$ . $q = - 3$ : $b_{1} \cdot 9 \cdot (- 2) = - 28$ , $b_{1} = \frac{14}{9}$ .
Перевірка для $b_{1} = 7$ , $q = - 2$ : $b_{4} = - 56$ , $b_{5} = 112$ , $b_{5} - b_{4} = 168$ ; $b_{3} = 28$ , $b_{3} + b_{4} = - 28$ .

Відповідь:

1) $b_{1} = 2$ , $q = 3$ або $b_{1} = - 2$ , $q = - 3$ ; 2) $b_{1} = 7$ , $q = - 2$ або $b_{1} = \frac{14}{9}$ , $q = - 3$ .

Розбір зрозумілий?