Завдання 18.30, 18. Геометрична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 18.30

Периметри вписаних трикутників

У правильний трикутник зі стороною $a$ послідовно вписують трикутники, вершини кожного з яких — середини сторін попереднього. Доведіть, що периметри утворюють геометричну прогресію, і запишіть формулу $n$ -го члена.

Розв’язання

Сторони кожного наступного трикутника — середні лінії попереднього, тому вони вдвічі менші за його сторони. Отже, і периметр кожного наступного трикутника вдвічі менший: $P_{n + 1} = \frac{1}{2} P_{n}$ .
Тому периметри утворюють геометричну прогресію з $P_{1} = 3 a$ і $q = \frac{1}{2}$ .
$P_{n} = 3 a \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{3 a}{2 ^{n - 1}}$ .

Відповідь:

$P_{n} = \frac{3 a}{2 ^{n - 1}}$ .

Розбір зрозумілий?

18. Геометрична прогресія Завдання 18.30 с. 175

Периметри вписаних трикутників

Умова

Що треба знати

Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, — середня лінія; вона дорівнює половині третьої сторони. Формула $n$ -го члена геометричної прогресії: $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Сторони кожного нового трикутника — середні лінії попереднього.

Розв’язання крок за кроком

Сторони кожного наступного трикутника — середні лінії попереднього, тому вони вдвічі менші за його сторони. Отже, і периметр кожного наступного трикутника вдвічі менший: $P_{n + 1} = \frac{1}{2} P_{n}$ .
Тому периметри утворюють геометричну прогресію з $P_{1} = 3 a$ і $q = \frac{1}{2}$ .
$P_{n} = 3 a \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{3 a}{2 ^{n - 1}}$ .

Відповідь:

$P_{n} = \frac{3 a}{2 ^{n - 1}}$ .

Розбір зрозумілий?