Завдання 17.41
Рівняння з двома змінними і коренями
Знайдіть усі пари (x; y), що задовольняють рівняння x2+1+y2+1=x2+y2+2.
Розв’язання
Нехай u=x2+1≥1, v=y2+1≥1. Тоді x2+y2+2=u2+v2, і рівняння набуває вигляду u+v=u2+v2.
u(u−1)+v(v−1)=0. Оскільки u≥1 і v≥1, обидва доданки невід’ємні, тому кожен дорівнює нулю: u=1, v=1.
x2+1=1⇒x=0; y2+1=1⇒y=0.
Розбір зрозумілий?
17. Сума n перших членів арифметичної прогресії
Завдання 17.41
с. 166
Рівняння з двома змінними і коренями
Умова
Знайдіть усі пари (x; y), що задовольняють рівняння x2+1+y2+1=x2+y2+2.
Що треба знати
Заміна u=x2+1 дає u≥1 і u2=x2+1. Сума невід’ємних доданків дорівнює нулю лише тоді, коли кожен доданок дорівнює нулю.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Познач u = √(x² + 1), v = √(y² + 1); права частина дорівнює u² + v².
Розв’язання крок за кроком
Нехай u=x2+1≥1, v=y2+1≥1. Тоді x2+y2+2=u2+v2, і рівняння набуває вигляду u+v=u2+v2.
u(u−1)+v(v−1)=0. Оскільки u≥1 і v≥1, обидва доданки невід’ємні, тому кожен дорівнює нулю: u=1, v=1.
x2+1=1⇒x=0; y2+1=1⇒y=0.
Розбір зрозумілий?
