Завдання 17.30, 17. Сума n перших членів арифметичної прогресії — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 17.30

Рівняння із сумою прогресії (2)

Розв’яжіть рівняння: 1) $11 + 19 + 27 + \dots + (8 n + 3) = 470$ , $n$ — натуральне; 2) $1 + 5 + 9 + \dots + x = 630$ , $x$ — натуральне.

Розв’язання

1) Доданків $n$ : $\frac{11 + 8 n + 3}{2} \cdot n = 470$ , $(4 n + 7) n = 470$ , $4 n^{2} + 7 n - 470 = 0$ .
$D = 49 + 7520 = 7569 = 8 7^{2}$ , $n = \frac{- 7 + 87}{8} = 10$ .
2) $d = 4$ , доданків $k$ : $x = 1 + 4 (k - 1) = 4 k - 3$ ; $\frac{1 + 4 k - 3}{2} \cdot k = 630$ , $(2 k - 1) k = 630$ , $2 k^{2} - k - 630 = 0$ .
$D = 1 + 5040 = 5041 = 7 1^{2}$ , $k = \frac{1 + 71}{4} = 18$ ; $x = 72 - 3 = 69$ .
Перевірка: $\frac{1 + 69}{2} \cdot 18 = 630$ .

Відповідь:

1) $n = 10$ ; 2) $x = 69$ .

Розбір зрозумілий?

17. Сума n перших членів арифметичної прогресії Завдання 17.30 с. 165

Рівняння із сумою прогресії (2)

Умова

Розв’яжіть рівняння: 1) $11 + 19 + 27 + \dots + (8 n + 3) = 470$ , $n$ — натуральне; 2) $1 + 5 + 9 + \dots + x = 630$ , $x$ — натуральне.

Що треба знати

Ліва частина рівняння — сума арифметичної прогресії. Записуємо її за формулою $S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ і отримуємо квадратне рівняння відносно кількості доданків, з якого беремо лише натуральний корінь.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У другому x = 4k − 3, де k — кількість доданків.

Розв’язання крок за кроком

1) Доданків $n$ : $\frac{11 + 8 n + 3}{2} \cdot n = 470$ , $(4 n + 7) n = 470$ , $4 n^{2} + 7 n - 470 = 0$ .
$D = 49 + 7520 = 7569 = 8 7^{2}$ , $n = \frac{- 7 + 87}{8} = 10$ .
2) $d = 4$ , доданків $k$ : $x = 1 + 4 (k - 1) = 4 k - 3$ ; $\frac{1 + 4 k - 3}{2} \cdot k = 630$ , $(2 k - 1) k = 630$ , $2 k^{2} - k - 630 = 0$ .
$D = 1 + 5040 = 5041 = 7 1^{2}$ , $k = \frac{1 + 71}{4} = 18$ ; $x = 72 - 3 = 69$ .
Перевірка: $\frac{1 + 69}{2} \cdot 18 = 630$ .

Відповідь:

1) $n = 10$ ; 2) $x = 69$ .

Розбір зрозумілий?