Завдання 17.29, 17. Сума n перших членів арифметичної прогресії — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 17.29

Рівняння із сумою прогресії (1)

Розв’яжіть рівняння: 1) $7 + 13 + 19 + \dots + (6 n + 1) = 480$ , $n$ — натуральне; 2) $5 + 8 + 11 + \dots + x = 124$ , $x$ — натуральне.

Розв’язання

1) Доданки — члени прогресії $6 k + 1$ при $k = 1, \dots, n$ : їх $n$ . $\frac{7 + 6 n + 1}{2} \cdot n = 480$ , $(3 n + 4) n = 480$ , $3 n^{2} + 4 n - 480 = 0$ .
$D = 16 + 5760 = 5776 = 7 6^{2}$ , $n = \frac{- 4 + 76}{6} = 12$ (другий корінь від’ємний).
2) $a_{1} = 5$ , $d = 3$ ; нехай доданків $k$ , тоді $x = 5 + 3 (k - 1) = 3 k + 2$ і $\frac{5 + 3 k + 2}{2} \cdot k = 124$ , $3 k^{2} + 7 k - 248 = 0$ .
$D = 49 + 2976 = 3025 = 5 5^{2}$ , $k = \frac{- 7 + 55}{6} = 8$ ; $x = 3 \cdot 8 + 2 = 26$ .
Перевірка: $\frac{5 + 26}{2} \cdot 8 = 124$ .

Відповідь:

1) $n = 12$ ; 2) $x = 26$ .

Розбір зрозумілий?

17. Сума n перших членів арифметичної прогресії Завдання 17.29 с. 165

Рівняння із сумою прогресії (1)

Умова

Розв’яжіть рівняння: 1) $7 + 13 + 19 + \dots + (6 n + 1) = 480$ , $n$ — натуральне; 2) $5 + 8 + 11 + \dots + x = 124$ , $x$ — натуральне.

Що треба знати

Ліва частина рівняння — сума арифметичної прогресії. Записуємо її за формулою $S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ і отримуємо квадратне рівняння відносно кількості доданків, з якого беремо лише натуральний корінь.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У першому доданків n (перший — при n = 1). У другому познач кількість доданків k, тоді x = 3k + 2.

Розв’язання крок за кроком

1) Доданки — члени прогресії $6 k + 1$ при $k = 1, \dots, n$ : їх $n$ . $\frac{7 + 6 n + 1}{2} \cdot n = 480$ , $(3 n + 4) n = 480$ , $3 n^{2} + 4 n - 480 = 0$ .
$D = 16 + 5760 = 5776 = 7 6^{2}$ , $n = \frac{- 4 + 76}{6} = 12$ (другий корінь від’ємний).
2) $a_{1} = 5$ , $d = 3$ ; нехай доданків $k$ , тоді $x = 5 + 3 (k - 1) = 3 k + 2$ і $\frac{5 + 3 k + 2}{2} \cdot k = 124$ , $3 k^{2} + 7 k - 248 = 0$ .
$D = 49 + 2976 = 3025 = 5 5^{2}$ , $k = \frac{- 7 + 55}{6} = 8$ ; $x = 3 \cdot 8 + 2 = 26$ .
Перевірка: $\frac{5 + 26}{2} \cdot 8 = 124$ .

Відповідь:

1) $n = 12$ ; 2) $x = 26$ .

Розбір зрозумілий?