Завдання 17.16, 17. Сума n перших членів арифметичної прогресії — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 17.16

Давньоєгипетська задача про хліб

$100$ мір хліба ділять між п’ятьма людьми так, що частки утворюють арифметичну прогресію, а двоє перших разом отримують у $7$ разів менше, ніж троє останніх. Скільки отримає кожен?

Розв’язання

Частки: $a_{1}, a_{1} + d, \dots, a_{1} + 4 d$ . $S_{5} = 5 a_{1} + 10 d = 100$ , тобто $a_{1} + 2 d = 20$ .
$7 (a_{1} + a_{2}) = a_{3} + a_{4} + a_{5}$ : $7 (2 a_{1} + d) = 3 a_{1} + 9 d$ , $14 a_{1} + 7 d = 3 a_{1} + 9 d$ , $11 a_{1} = 2 d$ , $d = 5, 5 a_{1}$ .
$a_{1} + 11 a_{1} = 20$ , $a_{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$ ; $d = \frac{55}{6} = 9 \frac{1}{6}$ .
Частки: $1 \frac{2}{3}$ ; $10 \frac{5}{6}$ ; $20$ ; $29 \frac{1}{6}$ ; $38 \frac{1}{3}$ .
Перевірка: сума $100$ ; $1 \frac{2}{3} + 10 \frac{5}{6} = 12 \frac{1}{2}$ , $20 + 29 \frac{1}{6} + 38 \frac{1}{3} = 87 \frac{1}{2} = 7 \cdot 12 \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

$1 \frac{2}{3}$ ; $10 \frac{5}{6}$ ; $20$ ; $29 \frac{1}{6}$ ; $38 \frac{1}{3}$ міри.

Розбір зрозумілий?

17. Сума n перших членів арифметичної прогресії Завдання 17.16 с. 164

Давньоєгипетська задача про хліб

Умова

Що треба знати

Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n або S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n .$
Першу формулу зручно брати, коли відомі перший і останній члени, другу — коли відомі $a_{1}$ і $d$ . Нагадаємо: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Запиши S₅ = 100 і 7(a₁ + a₂) = a₃ + a₄ + a₅ через a₁ і d.

Розв’язання крок за кроком

Частки: $a_{1}, a_{1} + d, \dots, a_{1} + 4 d$ . $S_{5} = 5 a_{1} + 10 d = 100$ , тобто $a_{1} + 2 d = 20$ .
$7 (a_{1} + a_{2}) = a_{3} + a_{4} + a_{5}$ : $7 (2 a_{1} + d) = 3 a_{1} + 9 d$ , $14 a_{1} + 7 d = 3 a_{1} + 9 d$ , $11 a_{1} = 2 d$ , $d = 5, 5 a_{1}$ .
$a_{1} + 11 a_{1} = 20$ , $a_{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$ ; $d = \frac{55}{6} = 9 \frac{1}{6}$ .
Частки: $1 \frac{2}{3}$ ; $10 \frac{5}{6}$ ; $20$ ; $29 \frac{1}{6}$ ; $38 \frac{1}{3}$ .
Перевірка: сума $100$ ; $1 \frac{2}{3} + 10 \frac{5}{6} = 12 \frac{1}{2}$ , $20 + 29 \frac{1}{6} + 38 \frac{1}{3} = 87 \frac{1}{2} = 7 \cdot 12 \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

$1 \frac{2}{3}$ ; $10 \frac{5}{6}$ ; $20$ ; $29 \frac{1}{6}$ ; $38 \frac{1}{3}$ міри.

Розбір зрозумілий?