Завдання 16.30
Перший член і різниця з системи (2)
Знайдіть a1 і d арифметичної прогресії, якщо: 1) a5+a12=41 і a10+a14=62; 2) a7+a13=−104 і a2⋅a6=−240.
Розв’язання
1) 2a1+15d=41, 2a1+22d=62. Віднімаємо: 7d=21, d=3; 2a1=41−45=−4, a1=−2.
Перевірка 1): a5=10, a12=31, сума 41; a10=25, a14=37, сума 62.
2) 2a1+18d=−104, тобто a1=−52−9d. Тоді a2=a1+d=−52−8d, a6=a1+5d=−52−4d.
(−52−8d)(−52−4d)=−240, тобто (52+8d)(52+4d)=−240: 2704+624d+32d2=−240, 32d2+624d+2944=0, 2d2+39d+184=0.
D=1521−1472=49, d1=4−39+7=−8, d2=4−39−7=−11,5.
Якщо d=−8, то a1=−52+72=20 (a2=12, a6=−20, добуток −240). Якщо d=−11,5, то a1=−52+103,5=51,5 (a2=40, a6=−6, добуток −240).
Відповідь: 1) a1=−2, d=3; 2) a1=20, d=−8 або a1=51,5, d=−11,5.
Розбір зрозумілий?
16. Арифметична прогресія
Завдання 16.30
с. 158
Перший член і різниця з системи (2)
Умова
Знайдіть a1 і d арифметичної прогресії, якщо: 1) a5+a12=41 і a10+a14=62; 2) a7+a13=−104 і a2⋅a6=−240.
Що треба знати
Кожен член записуємо через a1 і d: an=a1+(n−1)d. Тоді умова задачі перетворюється на систему двох рівнянь із невідомими a1 і d.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
У другому пункті з першої умови a₁ + 9d = −52; вирази a₂ і a₆ через d.
Розв’язання крок за кроком
1) 2a1+15d=41, 2a1+22d=62. Віднімаємо: 7d=21, d=3; 2a1=41−45=−4, a1=−2.
Перевірка 1): a5=10, a12=31, сума 41; a10=25, a14=37, сума 62.
2) 2a1+18d=−104, тобто a1=−52−9d. Тоді a2=a1+d=−52−8d, a6=a1+5d=−52−4d.
(−52−8d)(−52−4d)=−240, тобто (52+8d)(52+4d)=−240: 2704+624d+32d2=−240, 32d2+624d+2944=0, 2d2+39d+184=0.
D=1521−1472=49, d1=4−39+7=−8, d2=4−39−7=−11,5.
Якщо d=−8, то a1=−52+72=20 (a2=12, a6=−20, добуток −240). Якщо d=−11,5, то a1=−52+103,5=51,5 (a2=40, a6=−6, добуток −240).
Відповідь: 1) a1=−2, d=3; 2) a1=20, d=−8 або a1=51,5, d=−11,5.
Розбір зрозумілий?
