Завдання 16.29, 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 16.29

Перший член і різниця з системи (1)

Знайдіть $a_{1}$ і $d$ арифметичної прогресії, якщо: 1) $a_{3} + a_{7} = 30$ і $a_{6} + a_{16} = 60$ ; 2) $a_{4} + a_{10} = 36$ і $a_{5} \cdot a_{11} = 340$ .

Розв’язання

1) $a_{3} + a_{7} = 2 a_{1} + 8 d = 30$ , $a_{6} + a_{16} = 2 a_{1} + 20 d = 60$ . Віднімаємо: $12 d = 30$ , $d = 2, 5$ ; $2 a_{1} = 30 - 20 = 10$ , $a_{1} = 5$ .
Перевірка 1): $a_{3} = 10$ , $a_{7} = 20$ , сума $30$ ; $a_{6} = 17, 5$ , $a_{16} = 42, 5$ , сума $60$ .
2) $a_{4} + a_{10} = 2 a_{1} + 12 d = 36$ , тобто $a_{1} + 6 d = 18$ ( $a_{7} = 18$ ). Тоді $a_{5} = a_{7} - 2 d = 18 - 2 d$ , $a_{11} = a_{7} + 4 d = 18 + 4 d$ .
$(18 - 2 d) (18 + 4 d) = 340$ : $324 + 36 d - 8 d^{2} = 340$ , $8 d^{2} - 36 d + 16 = 0$ , $2 d^{2} - 9 d + 4 = 0$ .
$D = 81 - 32 = 49$ , $d_{1} = \frac{9 + 7}{4} = 4$ , $d_{2} = \frac{9 - 7}{4} = 0, 5$ .
Якщо $d = 4$ , то $a_{1} = 18 - 24 = - 6$ (перевірка: $a_{5} = 10$ , $a_{11} = 34$ , $10 \cdot 34 = 340$ ). Якщо $d = 0, 5$ , то $a_{1} = 18 - 3 = 15$ ( $a_{5} = 17$ , $a_{11} = 20$ , $17 \cdot 20 = 340$ ).

Відповідь:

1) $a_{1} = 5$ , $d = 2, 5$ ; 2) $a_{1} = - 6$ , $d = 4$ або $a_{1} = 15$ , $d = 0, 5$ .

Розбір зрозумілий?

16. Арифметична прогресія Завдання 16.29 с. 158

Перший член і різниця з системи (1)

Умова

Знайдіть $a_{1}$ і $d$ арифметичної прогресії, якщо: 1) $a_{3} + a_{7} = 30$ і $a_{6} + a_{16} = 60$ ; 2) $a_{4} + a_{10} = 36$ і $a_{5} \cdot a_{11} = 340$ .

Що треба знати

Кожен член записуємо через $a_{1}$ і $d$ : $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Тоді умова задачі перетворюється на систему двох рівнянь із невідомими $a_{1}$ і $d$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У другому пункті з першої умови виходить a₇ = 18; вирази a₅ і a₁₁ через a₇ і d.

Розв’язання крок за кроком

1) $a_{3} + a_{7} = 2 a_{1} + 8 d = 30$ , $a_{6} + a_{16} = 2 a_{1} + 20 d = 60$ . Віднімаємо: $12 d = 30$ , $d = 2, 5$ ; $2 a_{1} = 30 - 20 = 10$ , $a_{1} = 5$ .
Перевірка 1): $a_{3} = 10$ , $a_{7} = 20$ , сума $30$ ; $a_{6} = 17, 5$ , $a_{16} = 42, 5$ , сума $60$ .
2) $a_{4} + a_{10} = 2 a_{1} + 12 d = 36$ , тобто $a_{1} + 6 d = 18$ ( $a_{7} = 18$ ). Тоді $a_{5} = a_{7} - 2 d = 18 - 2 d$ , $a_{11} = a_{7} + 4 d = 18 + 4 d$ .
$(18 - 2 d) (18 + 4 d) = 340$ : $324 + 36 d - 8 d^{2} = 340$ , $8 d^{2} - 36 d + 16 = 0$ , $2 d^{2} - 9 d + 4 = 0$ .
$D = 81 - 32 = 49$ , $d_{1} = \frac{9 + 7}{4} = 4$ , $d_{2} = \frac{9 - 7}{4} = 0, 5$ .
Якщо $d = 4$ , то $a_{1} = 18 - 24 = - 6$ (перевірка: $a_{5} = 10$ , $a_{11} = 34$ , $10 \cdot 34 = 340$ ). Якщо $d = 0, 5$ , то $a_{1} = 18 - 3 = 15$ ( $a_{5} = 17$ , $a_{11} = 20$ , $17 \cdot 20 = 340$ ).

Відповідь:

1) $a_{1} = 5$ , $d = 2, 5$ ; 2) $a_{1} = - 6$ , $d = 4$ або $a_{1} = 15$ , $d = 0, 5$ .

Розбір зрозумілий?