Завдання 15.18, 15. Числові послідовності — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 15.18

Формула за першими членами

Підберіть формулу $n$ -го члена послідовності: 1) $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ ; 2) $5, 8, 11, 14, 17, \dots$ ; 3) $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$ ; 4) $0, 2, 0, 2, 0, \dots$

Розв’язання

1) $1 = 1^{2}$ , $4 = 2^{2}$ , $9 = 3^{2}$ , … — це квадрати номерів: $a_{n} = n^{2}$ .
2) Кожен член на $3$ більший за попередній, тому $a_{n} = 3 n + c$ ; з $a_{1} = 5$ : $3 + c = 5$ , $c = 2$ . Отже, $a_{n} = 3 n + 2$ (перевірка: $a_{4} = 14$ ).
3) Знаменник на $1$ більший за чисельник і дорівнює номеру: $0 = \frac{0}{1}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ , … Отже, $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ .
4) Вираз $(- 1)^{n}$ дає $- 1, 1, - 1, 1, \dots$ ; додавши $1$ , маємо $0, 2, 0, 2, \dots$ Отже, $a_{n} = 1 + (- 1)^{n}$ .

Відповідь:

Наприклад: 1) $a_{n} = n^{2}$ ; 2) $a_{n} = 3 n + 2$ ; 3) $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ ; 4) $a_{n} = 1 + (- 1)^{n}$ .

Розбір зрозумілий?

15. Числові послідовності Завдання 15.18 с. 149

Формула за першими членами

Умова

Що треба знати

Формула $n$ -го члена дає змогу знайти будь-який член послідовності: у формулу замість $n$ підставляємо номер члена. Наприклад, якщо $a_{n} = 3 n - 1$ , то $a_{5} = 3 \cdot 5 - 1 = 14$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Порівнюй кожен член з його номером: квадрат номера? номер, помножений на 3? чергування знаків — це (−1)ⁿ.

Розв’язання крок за кроком

1) $1 = 1^{2}$ , $4 = 2^{2}$ , $9 = 3^{2}$ , … — це квадрати номерів: $a_{n} = n^{2}$ .
2) Кожен член на $3$ більший за попередній, тому $a_{n} = 3 n + c$ ; з $a_{1} = 5$ : $3 + c = 5$ , $c = 2$ . Отже, $a_{n} = 3 n + 2$ (перевірка: $a_{4} = 14$ ).
3) Знаменник на $1$ більший за чисельник і дорівнює номеру: $0 = \frac{0}{1}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ , … Отже, $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ .
4) Вираз $(- 1)^{n}$ дає $- 1, 1, - 1, 1, \dots$ ; додавши $1$ , маємо $0, 2, 0, 2, \dots$ Отже, $a_{n} = 1 + (- 1)^{n}$ .

Відповідь:

Наприклад: 1) $a_{n} = n^{2}$ ; 2) $a_{n} = 3 n + 2$ ; 3) $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ ; 4) $a_{n} = 1 + (- 1)^{n}$ .

Розбір зрозумілий?