Завдання 14.20, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.20

Задача на наздоганяння

Два автомобілі одночасно виїхали з міста в одному напрямку зі швидкостями $50$ і $40$ км/год. Через $0, 5$ год слідом виїхав третій і наздогнав перший на $1, 5$ год пізніше, ніж другий. Знайдіть швидкість третього автомобіля.

Розв’язання

Нехай швидкість третього автомобіля $v$ км/год, а другий він наздогнав через $t$ год після свого виїзду. Другий на той момент їхав $t + 0, 5$ год: $v t = 40 (t + 0, 5)$ .
Перший третій наздогнав через $t + 1, 5$ год після свого виїзду, а перший їхав $t + 2$ год: $v (t + 1, 5) = 50 (t + 2)$ .
Система: ${v t = 40 t + 20, v t + 1, 5 v = 50 t + 100.$ Підставляємо $v t$ із першого рівняння в друге: $40 t + 20 + 1, 5 v = 50 t + 100$ ; $1, 5 v = 10 t + 80$ ; $v = \frac{20 t + 160}{3}$ .
Тоді $t \cdot \frac{20 t + 160}{3} = 40 t + 20$ ; $20 t^{2} + 160 t = 120 t + 60$ ; $t^{2} + 2 t - 3 = 0$ ; $t_{1} = 1$ , $t_{2} = - 3$ — не підходить. $v = \frac{20 + 160}{3} = 60$ .
Перевірка: за $1$ год третій проїхав $60$ км, другий за $1, 5$ год — $60$ км; за $2, 5$ год третій проїхав $150$ км, перший за $3$ год — $150$ км.

Відповідь:

$60$ км/год.

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.20 с. 135

Задача на наздоганяння

Умова

Що треба знати

Шлях $s = v t$ . У задачах на наздоганяння той, хто виїхав пізніше, і той, кого наздоганяють, у момент зустрічі перебувають на однаковій відстані від старту. У задачах на зустріч до моменту зустрічі учасники рухаються однаковий час, а шлях, який один проходить після зустрічі, другий пройшов до зустрічі.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Візьми за невідомі швидкість третього автомобіля й час, за який він наздогнав другий, і прирівняй пройдені відстані.

Розв’язання крок за кроком

Нехай швидкість третього автомобіля $v$ км/год, а другий він наздогнав через $t$ год після свого виїзду. Другий на той момент їхав $t + 0, 5$ год: $v t = 40 (t + 0, 5)$ .
Перший третій наздогнав через $t + 1, 5$ год після свого виїзду, а перший їхав $t + 2$ год: $v (t + 1, 5) = 50 (t + 2)$ .
Система: ${v t = 40 t + 20, v t + 1, 5 v = 50 t + 100.$ Підставляємо $v t$ із першого рівняння в друге: $40 t + 20 + 1, 5 v = 50 t + 100$ ; $1, 5 v = 10 t + 80$ ; $v = \frac{20 t + 160}{3}$ .
Тоді $t \cdot \frac{20 t + 160}{3} = 40 t + 20$ ; $20 t^{2} + 160 t = 120 t + 60$ ; $t^{2} + 2 t - 3 = 0$ ; $t_{1} = 1$ , $t_{2} = - 3$ — не підходить. $v = \frac{20 + 160}{3} = 60$ .
Перевірка: за $1$ год третій проїхав $60$ км, другий за $1, 5$ год — $60$ км; за $2, 5$ год третій проїхав $150$ км, перший за $3$ год — $150$ км.

Відповідь:

$60$ км/год.

Розбір зрозумілий?