Завдання 14.19, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.19

Рівнодійна двох сил

Дві сили прикладено до однієї точки під прямим кутом, модуль рівнодійної $25$ Н. Якщо одну силу зменшити на $8$ Н, а другу збільшити на $4$ Н, модуль рівнодійної не зміниться. Знайдіть модулі сил.

Розв’язання

Нехай модулі сил $x$ Н і $y$ Н ( $x > 8$ ). Тоді $x^{2} + y^{2} = 2 5^{2} = 625$ і $(x - 8)^{2} + (y + 4)^{2} = 625$ .
Віднімаємо від другого рівняння перше: $- 16 x + 64 + 8 y + 16 = 0$ ; $8 y = 16 x - 80$ ; $y = 2 x - 10$ .
Підставляємо: $x^{2} + (2 x - 10)^{2} = 625$ ; $5 x^{2} - 40 x - 525 = 0$ ; $x^{2} - 8 x - 105 = 0$ ; $D = 64 + 420 = 484$ ; $x = \frac{8 \pm 22}{2}$ , $x_{1} = 15$ , $x_{2} = - 7$ — не підходить. Тоді $y = 2 \cdot 15 - 10 = 20$ .
Перевірка: $1 5^{2} + 2 0^{2} = 225 + 400 = 625$ ; $7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625$ .

Відповідь:

$15$ Н і $20$ Н (зменшували силу $15$ Н, збільшували — $20$ Н).

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.19 с. 135

Рівнодійна двох сил

Умова

Що треба знати

Рівнодійна двох перпендикулярних сил — діагональ прямокутника, побудованого на цих силах, тому за теоремою Піфагора $F^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2}$ . Щоб розв’язати прикладну задачу, позначаємо дві невідомі величини буквами, записуємо дві умови задачі як два рівняння й отримуємо систему — математичну модель задачі. Розв’язавши систему, відкидаємо корені, які не мають змісту (від’ємні швидкості, довжини тощо), і перевіряємо відповідь за умовою.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Запиши теорему Піфагора для обох випадків і відніми рівняння одне від одного.

Розв’язання крок за кроком

Нехай модулі сил $x$ Н і $y$ Н ( $x > 8$ ). Тоді $x^{2} + y^{2} = 2 5^{2} = 625$ і $(x - 8)^{2} + (y + 4)^{2} = 625$ .
Віднімаємо від другого рівняння перше: $- 16 x + 64 + 8 y + 16 = 0$ ; $8 y = 16 x - 80$ ; $y = 2 x - 10$ .
Підставляємо: $x^{2} + (2 x - 10)^{2} = 625$ ; $5 x^{2} - 40 x - 525 = 0$ ; $x^{2} - 8 x - 105 = 0$ ; $D = 64 + 420 = 484$ ; $x = \frac{8 \pm 22}{2}$ , $x_{1} = 15$ , $x_{2} = - 7$ — не підходить. Тоді $y = 2 \cdot 15 - 10 = 20$ .
Перевірка: $1 5^{2} + 2 0^{2} = 225 + 400 = 625$ ; $7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625$ .

Відповідь:

$15$ Н і $20$ Н (зменшували силу $15$ Н, збільшували — $20$ Н).

Розбір зрозумілий?