Завдання 14.18, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.18

Рух катера по річці

Катер проходить $48$ км проти течії і $30$ км за течією за $3$ год, а $15$ км за течією — на $1$ год швидше, ніж $36$ км проти течії. Знайдіть власну швидкість катера й швидкість течії.

Розв’язання

Нехай власна швидкість катера $x$ км/год, швидкість течії $y$ км/год. Система: ${\frac{48}{x - y} + \frac{30}{x + y} = 3, \frac{36}{x - y} - \frac{15}{x + y} = 1.$
Заміна $a = \frac{1}{x - y}$ , $b = \frac{1}{x + y}$ : ${48 a + 30 b = 3, 36 a - 15 b = 1.$ Множимо друге рівняння на $2$ : $72 a - 30 b = 2$ . Додаємо до першого: $120 a = 5$ , $a = \frac{1}{24}$ ; тоді $30 b = 3 - 2 = 1$ , $b = \frac{1}{30}$ .
Отже, $x - y = 24$ , $x + y = 30$ ; звідси $x = 27$ , $y = 3$ .
Перевірка: $48 : 24 + 30 : 30 = 2 + 1 = 3$ год; $36 : 24 - 15 : 30 = 1, 5 - 0, 5 = 1$ год.

Відповідь:

Власна швидкість катера $27$ км/год, швидкість течії $3$ км/год.

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.18 с. 135

Рух катера по річці

Умова

Що треба знати

Якщо власна швидкість судна $x$ , а швидкість течії $y$ , то за течією судно рухається зі швидкістю $x + y$ , а проти течії — $x - y$ (при цьому $x > y$ ). Пліт пливе зі швидкістю течії. Час руху $t = \frac{s}{v}$ ; дві умови задачі дають систему з двома змінними.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Зроби заміну $a = \frac{1}{x - y}$ , $b = \frac{1}{x + y}$ — система стане лінійною.

Розв’язання крок за кроком

Нехай власна швидкість катера $x$ км/год, швидкість течії $y$ км/год. Система: ${\frac{48}{x - y} + \frac{30}{x + y} = 3, \frac{36}{x - y} - \frac{15}{x + y} = 1.$
Заміна $a = \frac{1}{x - y}$ , $b = \frac{1}{x + y}$ : ${48 a + 30 b = 3, 36 a - 15 b = 1.$ Множимо друге рівняння на $2$ : $72 a - 30 b = 2$ . Додаємо до першого: $120 a = 5$ , $a = \frac{1}{24}$ ; тоді $30 b = 3 - 2 = 1$ , $b = \frac{1}{30}$ .
Отже, $x - y = 24$ , $x + y = 30$ ; звідси $x = 27$ , $y = 3$ .
Перевірка: $48 : 24 + 30 : 30 = 2 + 1 = 3$ год; $36 : 24 - 15 : 30 = 1, 5 - 0, 5 = 1$ год.

Відповідь:

Власна швидкість катера $27$ км/год, швидкість течії $3$ км/год.

Розбір зрозумілий?