Завдання 14.16, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.16

Опір провідників

Три провідники першого виду й один другого, з’єднані послідовно, мають опір $18$ Ом. Один провідник першого й один другого виду, з’єднані паралельно, при напрузі $24$ В дають струм $10$ А. Знайдіть опір провідника кожного виду.

Розв’язання

Нехай опір провідника першого виду $x$ Ом, другого — $y$ Ом. Послідовне з’єднання: $3 x + y = 18$ .
Паралельне з’єднання: $R = \frac{U}{I} = \frac{24}{10} = 2, 4$ Ом, тому $\frac{x y}{x + y} = 2, 4$ .
Система: ${3 x + y = 18, \frac{x y}{x + y} = 2, 4.$ З першого рівняння $y = 18 - 3 x$ . Тоді $\frac{x ( 18 - 3 x )}{18 - 2 x} = \frac{12}{5}$ ; $5 x (18 - 3 x) = 12 (18 - 2 x)$ ; $90 x - 15 x^{2} = 216 - 24 x$ ; $15 x^{2} - 114 x + 216 = 0$ ; $5 x^{2} - 38 x + 72 = 0$ .
$D = 3 8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 72 = 1444 - 1440 = 4$ ; $x_{1} = \frac{38 + 2}{10} = 4$ , $x_{2} = \frac{38 - 2}{10} = 3, 6$ . Тоді $y_{1} = 18 - 12 = 6$ , $y_{2} = 18 - 10, 8 = 7, 2$ .
Перевірка: $\frac{4 \cdot 6}{4 + 6} = 2, 4$ ; $\frac{3 , 6 \cdot 7 , 2}{3 , 6 + 7 , 2} = \frac{25 , 92}{10 , 8} = 2, 4$ . Обидві пари додатні й задовольняють обидві умови, тож задача має два розв’язки.

Відповідь:

$4$ Ом і $6$ Ом або $3, 6$ Ом і $7, 2$ Ом (перше число — опір провідника першого виду).

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.16 с. 134

Опір провідників

Умова

Що треба знати

Закон Ома: опір ділянки кола $R = \frac{U}{I}$ . При послідовному з’єднанні опори додаються: $R = R_{1} + R_{2} + \dots$ ; при паралельному з’єднанні двох провідників $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ , тобто $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ . Невідомі опори позначаємо змінними й складаємо систему.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Із закону Ома знайди опір паралельного з’єднання, а з першої умови вирази $y$ через $x$ .

Розв’язання крок за кроком

Нехай опір провідника першого виду $x$ Ом, другого — $y$ Ом. Послідовне з’єднання: $3 x + y = 18$ .
Паралельне з’єднання: $R = \frac{U}{I} = \frac{24}{10} = 2, 4$ Ом, тому $\frac{x y}{x + y} = 2, 4$ .
Система: ${3 x + y = 18, \frac{x y}{x + y} = 2, 4.$ З першого рівняння $y = 18 - 3 x$ . Тоді $\frac{x ( 18 - 3 x )}{18 - 2 x} = \frac{12}{5}$ ; $5 x (18 - 3 x) = 12 (18 - 2 x)$ ; $90 x - 15 x^{2} = 216 - 24 x$ ; $15 x^{2} - 114 x + 216 = 0$ ; $5 x^{2} - 38 x + 72 = 0$ .
$D = 3 8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 72 = 1444 - 1440 = 4$ ; $x_{1} = \frac{38 + 2}{10} = 4$ , $x_{2} = \frac{38 - 2}{10} = 3, 6$ . Тоді $y_{1} = 18 - 12 = 6$ , $y_{2} = 18 - 10, 8 = 7, 2$ .
Перевірка: $\frac{4 \cdot 6}{4 + 6} = 2, 4$ ; $\frac{3 , 6 \cdot 7 , 2}{3 , 6 + 7 , 2} = \frac{25 , 92}{10 , 8} = 2, 4$ . Обидві пари додатні й задовольняють обидві умови, тож задача має два розв’язки.

Відповідь:

$4$ Ом і $6$ Ом або $3, 6$ Ом і $7, 2$ Ом (перше число — опір провідника першого виду).

Розбір зрозумілий?