Завдання 14.14, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.14

Два трактористи

Два трактористи разом зорють поле за $6$ год. Якщо перший працюватиме сам $4$ год, а потім другий закінчить оранку за $9$ год, поле буде зоране. За скільки годин кожен зоре поле сам?

Розв’язання

Нехай перший тракторист зоре поле за $x$ год, другий — за $y$ год. Тоді ${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 1.$
Позначимо $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ : $u + v = \frac{1}{6}$ , $4 u + 9 v = 1$ .
$u = \frac{1}{6} - v$ : $\frac{4}{6} - 4 v + 9 v = 1$ , $5 v = \frac{1}{3}$ , $v = \frac{1}{15}$ ; $u = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 2}{30} = \frac{1}{10}$ .
Отже, $x = 10$ , $y = 15$ . Перевірка: $\frac{4}{10} + \frac{9}{15} = 0, 4 + 0, 6 = 1$ .

Відповідь:

Перший — за $10$ год, другий — за $15$ год.

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.14 с. 134

Два трактористи

Умова

Що треба знати

У задачах на спільну роботу всю роботу приймаємо за $1$ . Якщо виконавець робить усю роботу за $x$ днів (годин), то за одиницю часу він виконує $\frac{1}{x}$ роботи, а за $t$ одиниць часу — $\frac{t}{x}$ роботи. Коли працюють разом, частини роботи за одиницю часу додаються. Часто зручно позначити $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Усе поле — це $1$ : $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 1$ ; заміна $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ дає лінійну систему.

Розв’язання крок за кроком

Нехай перший тракторист зоре поле за $x$ год, другий — за $y$ год. Тоді ${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 1.$
Позначимо $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ : $u + v = \frac{1}{6}$ , $4 u + 9 v = 1$ .
$u = \frac{1}{6} - v$ : $\frac{4}{6} - 4 v + 9 v = 1$ , $5 v = \frac{1}{3}$ , $v = \frac{1}{15}$ ; $u = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 2}{30} = \frac{1}{10}$ .
Отже, $x = 10$ , $y = 15$ . Перевірка: $\frac{4}{10} + \frac{9}{15} = 0, 4 + 0, 6 = 1$ .

Відповідь:

Перший — за $10$ год, другий — за $15$ год.

Розбір зрозумілий?