Завдання 14.13, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.13

Дві труби

Через дві труби разом басейн наповнюється за $12$ год. Якщо $5$ год наповнювати лише через першу трубу, а потім $9$ год — лише через другу, наповниться половина басейну. За скільки годин наповнює басейн кожна труба?

Розв’язання

Нехай перша труба наповнює басейн за $x$ год, друга — за $y$ год. Тоді ${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, \frac{5}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2} .$
Позначимо $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ : ${u + v = \frac{1}{12}, 5 u + 9 v = \frac{1}{2} .$
$u = \frac{1}{12} - v$ : $\frac{5}{12} - 5 v + 9 v = \frac{1}{2}$ , $4 v = \frac{1}{12}$ , $v = \frac{1}{48}$ ; $u = \frac{1}{12} - \frac{1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$ .
Отже, $x = 16$ , $y = 48$ . Перевірка: $\frac{5}{16} + \frac{9}{48} = \frac{15}{48} + \frac{9}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

Перша труба — за $16$ год, друга — за $48$ год.

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.13 с. 134

Дві труби

Умова

Що треба знати

У задачах на спільну роботу всю роботу приймаємо за $1$ . Якщо виконавець робить усю роботу за $x$ днів (годин), то за одиницю часу він виконує $\frac{1}{x}$ роботи, а за $t$ одиниць часу — $\frac{t}{x}$ роботи. Коли працюють разом, частини роботи за одиницю часу додаються. Часто зручно позначити $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Заміни $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ — система стане лінійною.

Розв’язання крок за кроком

Нехай перша труба наповнює басейн за $x$ год, друга — за $y$ год. Тоді ${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, \frac{5}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2} .$
Позначимо $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ : ${u + v = \frac{1}{12}, 5 u + 9 v = \frac{1}{2} .$
$u = \frac{1}{12} - v$ : $\frac{5}{12} - 5 v + 9 v = \frac{1}{2}$ , $4 v = \frac{1}{12}$ , $v = \frac{1}{48}$ ; $u = \frac{1}{12} - \frac{1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$ .
Отже, $x = 16$ , $y = 48$ . Перевірка: $\frac{5}{16} + \frac{9}{48} = \frac{15}{48} + \frac{9}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

Перша труба — за $16$ год, друга — за $48$ год.

Розбір зрозумілий?