Завдання 14.12, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.12

Набір тексту вдвох

Вікторія і Віра разом набирають текст за $4$ год. Якщо половину тексту набере Вікторія, а другу половину — Віра, на все піде $9$ год. За скільки годин кожна набере весь текст сама?

Розв’язання

Нехай Вікторія набирає весь текст за $x$ год, Віра — за $y$ год. Тоді ${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}, \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9.$
З другого рівняння $x + y = 18$ . Перше: $\frac{x + y}{x y} = \frac{1}{4}$ , тобто $\frac{18}{x y} = \frac{1}{4}$ , $x y = 72$ .
$x$ і $y$ — корені рівняння $t^{2} - 18 t + 72 = 0$ : $D = 324 - 288 = 36$ , $t_{1} = \frac{18 + 6}{2} = 12$ , $t_{2} = \frac{18 - 6}{2} = 6$ .
Перевірка: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ , $3 + 6 = 9$ . Умова симетрична, тож можливі обидва розподіли.

Відповідь:

Одна з дівчат — за $6$ год, друга — за $12$ год (Вікторія $6$ год і Віра $12$ год або навпаки).

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.12 с. 134

Набір тексту вдвох

Умова

Що треба знати

У задачах на спільну роботу всю роботу приймаємо за $1$ . Якщо виконавець робить усю роботу за $x$ днів (годин), то за одиницю часу він виконує $\frac{1}{x}$ роботи, а за $t$ одиниць часу — $\frac{t}{x}$ роботи. Коли працюють разом, частини роботи за одиницю часу додаються. Часто зручно позначити $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

На половину тексту кожна витрачає половину свого часу: $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9$ .

Розв’язання крок за кроком

Нехай Вікторія набирає весь текст за $x$ год, Віра — за $y$ год. Тоді ${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}, \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9.$
З другого рівняння $x + y = 18$ . Перше: $\frac{x + y}{x y} = \frac{1}{4}$ , тобто $\frac{18}{x y} = \frac{1}{4}$ , $x y = 72$ .
$x$ і $y$ — корені рівняння $t^{2} - 18 t + 72 = 0$ : $D = 324 - 288 = 36$ , $t_{1} = \frac{18 + 6}{2} = 12$ , $t_{2} = \frac{18 - 6}{2} = 6$ .
Перевірка: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ , $3 + 6 = 9$ . Умова симетрична, тож можливі обидва розподіли.

Відповідь:

Одна з дівчат — за $6$ год, друга — за $12$ год (Вікторія $6$ год і Віра $12$ год або навпаки).

Розбір зрозумілий?