Завдання 14.9, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.9

Турист і велосипедистка

Відстань між селами $36$ км. Турист вийшов з одного села, через $1$ год назустріч йому виїхала велосипедистка й зустріла його через $2$ год після свого виїзду. Турист долає всю відстань на $2$ год довше, ніж велосипедистка. Знайдіть їхні швидкості.

Розв’язання

Нехай швидкість туриста $x$ км/год, велосипедистки — $y$ км/год. До зустрічі турист ішов $1 + 2 = 3$ год, велосипедистка їхала $2$ год: $3 x + 2 y = 36$ . За умовою про час: $\frac{36}{x} - \frac{36}{y} = 2$ .
З першого рівняння $2 y = 36 - 3 x$ , тоді $\frac{36}{y} = \frac{72}{36 - 3 x} = \frac{24}{12 - x}$ (тут $0 < x < 12$ ). Маємо $\frac{36}{x} - \frac{24}{12 - x} = 2$ , або $\frac{18}{x} - \frac{12}{12 - x} = 1$ .
Множимо на $x (12 - x)$ : $18 (12 - x) - 12 x = x (12 - x)$ , $216 - 30 x = 12 x - x^{2}$ , $x^{2} - 42 x + 216 = 0$ .
$D = 1764 - 864 = 900$ ; $x_{1} = \frac{42 + 30}{2} = 36$ — не підходить ( $x < 12$ ), $x_{2} = \frac{42 - 30}{2} = 6$ . Тоді $y = \frac{36 - 18}{2} = 9$ .
Перевірка: $3 \cdot 6 + 2 \cdot 9 = 36$ ; $\frac{36}{6} - \frac{36}{9} = 6 - 4 = 2$ .

Відповідь:

Турист — $6$ км/год, велосипедистка — $9$ км/год.

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.9 с. 133

Турист і велосипедистка

Умова

Що треба знати

Для задач на рух складаємо систему з двох рівнянь, використовуючи формули $s = v t$ і $t = \frac{s}{v}$ . Якщо об’єкти рухаються назустріч, то до зустрічі вони разом долають усю відстань між пунктами. Після розв’язування відкидаємо від’ємні швидкості та значення, що суперечать обмеженням умови.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

До зустрічі турист був у дорозі 3 год, а велосипедистка — 2 год; разом вони пройшли 36 км.

Розв’язання крок за кроком

Нехай швидкість туриста $x$ км/год, велосипедистки — $y$ км/год. До зустрічі турист ішов $1 + 2 = 3$ год, велосипедистка їхала $2$ год: $3 x + 2 y = 36$ . За умовою про час: $\frac{36}{x} - \frac{36}{y} = 2$ .
З першого рівняння $2 y = 36 - 3 x$ , тоді $\frac{36}{y} = \frac{72}{36 - 3 x} = \frac{24}{12 - x}$ (тут $0 < x < 12$ ). Маємо $\frac{36}{x} - \frac{24}{12 - x} = 2$ , або $\frac{18}{x} - \frac{12}{12 - x} = 1$ .
Множимо на $x (12 - x)$ : $18 (12 - x) - 12 x = x (12 - x)$ , $216 - 30 x = 12 x - x^{2}$ , $x^{2} - 42 x + 216 = 0$ .
$D = 1764 - 864 = 900$ ; $x_{1} = \frac{42 + 30}{2} = 36$ — не підходить ( $x < 12$ ), $x_{2} = \frac{42 - 30}{2} = 6$ . Тоді $y = \frac{36 - 18}{2} = 9$ .
Перевірка: $3 \cdot 6 + 2 \cdot 9 = 36$ ; $\frac{36}{6} - \frac{36}{9} = 6 - 4 = 2$ .

Відповідь:

Турист — $6$ км/год, велосипедистка — $9$ км/год.

Розбір зрозумілий?