Завдання 14.6, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.6

Сторони за зміною площі

Скорочення довжини прямокутника на $3$ см разом із подовженням ширини на $2$ см додає до площі $6$ см², а скорочення довжини на $5$ см разом із подовженням ширини на $3$ см площі не змінює. Знайдіть сторони прямокутника.

Розв’язання

Нехай довжина $x$ см, ширина $y$ см. Тоді ${(x - 3) (y + 2) = x y + 6, (x - 5) (y + 3) = x y .$
Перше: $x y + 2 x - 3 y - 6 = x y + 6$ , тобто $2 x - 3 y = 12$ . Друге: $x y + 3 x - 5 y - 15 = x y$ , тобто $3 x - 5 y = 15$ .
Спосіб додавання: множимо перше рівняння на $3$ , друге — на $2$ : $6 x - 9 y = 36$ , $6 x - 10 y = 30$ . Віднімаємо: $y = 6$ . Тоді $2 x = 12 + 18 = 30$ , $x = 15$ .
Перевірка: $(15 - 3) (6 + 2) = 96 = 90 + 6$ ; $(15 - 5) (6 + 3) = 90 = 15 \cdot 6$ .

Відповідь:

Довжина $15$ см, ширина $6$ см.

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.6 с. 133

Сторони за зміною площі

Умова

Що треба знати

Математична модель задачі — її умова, записана мовою математики. Невідомі сторони позначаємо $x$ і $y$ , за умовою складаємо систему рівнянь, розв’язуємо її й залишаємо лише додатні значення. Для прямокутника зі сторонами $a$ і $b$ : $P = 2 (a + b)$ , $S = ab$ ; для прямокутного трикутника з катетами $a$ , $b$ і гіпотенузою $c$ : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , $S = \frac{ab}{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Після розкриття дужок доданки $x y$ скоротяться і залишиться лінійна система.

Розв’язання крок за кроком

Нехай довжина $x$ см, ширина $y$ см. Тоді ${(x - 3) (y + 2) = x y + 6, (x - 5) (y + 3) = x y .$
Перше: $x y + 2 x - 3 y - 6 = x y + 6$ , тобто $2 x - 3 y = 12$ . Друге: $x y + 3 x - 5 y - 15 = x y$ , тобто $3 x - 5 y = 15$ .
Спосіб додавання: множимо перше рівняння на $3$ , друге — на $2$ : $6 x - 9 y = 36$ , $6 x - 10 y = 30$ . Віднімаємо: $y = 6$ . Тоді $2 x = 12 + 18 = 30$ , $x = 15$ .
Перевірка: $(15 - 3) (6 + 2) = 96 = 90 + 6$ ; $(15 - 5) (6 + 3) = 90 = 15 \cdot 6$ .

Відповідь:

Довжина $15$ см, ширина $6$ см.

Розбір зрозумілий?