Завдання 14.5, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.5

Зміна сторін прямокутника

Площа прямокутника $180$ см². Якщо одну сторону зменшити на $3$ см, а другу — на $2$ см, площа стане $120$ см². Знайдіть початкові сторони.

Розв’язання

Нехай сторону, яку зменшують на $3$ см, позначимо $x$ см, а другу — $y$ см. Тоді ${x y = 180, (x - 3) (y - 2) = 120.$
Друге рівняння: $x y - 2 x - 3 y + 6 = 120$ ; з $x y = 180$ маємо $180 - 2 x - 3 y + 6 = 120$ , тобто $2 x + 3 y = 66$ , $x = \frac{66 - 3 y}{2}$ .
Підставимо в $x y = 180$ : $\frac{( 66 - 3 y ) y}{2} = 180$ , $66 y - 3 y^{2} = 360$ , $y^{2} - 22 y + 120 = 0$ .
$D = 484 - 480 = 4$ , $y_{1} = \frac{22 + 2}{2} = 12$ , $y_{2} = \frac{22 - 2}{2} = 10$ . Тоді $x_{1} = \frac{66 - 36}{2} = 15$ , $x_{2} = \frac{66 - 30}{2} = 18$ .
Обидві пари підходять: $15 \cdot 12 = 180$ і $12 \cdot 10 = 120$ ; $18 \cdot 10 = 180$ і $15 \cdot 8 = 120$ .

Відповідь:

$15$ см і $12$ см або $18$ см і $10$ см (першу з названих сторін зменшують на $3$ см).

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.5 с. 132

Зміна сторін прямокутника

Умова

Що треба знати

Математична модель задачі — її умова, записана мовою математики. Невідомі сторони позначаємо $x$ і $y$ , за умовою складаємо систему рівнянь, розв’язуємо її й залишаємо лише додатні значення. Для прямокутника зі сторонами $a$ і $b$ : $P = 2 (a + b)$ , $S = ab$ ; для прямокутного трикутника з катетами $a$ , $b$ і гіпотенузою $c$ : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , $S = \frac{ab}{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розкрий дужки в другому рівнянні й підстав у нього відомий добуток сторін.

Розв’язання крок за кроком

Нехай сторону, яку зменшують на $3$ см, позначимо $x$ см, а другу — $y$ см. Тоді ${x y = 180, (x - 3) (y - 2) = 120.$
Друге рівняння: $x y - 2 x - 3 y + 6 = 120$ ; з $x y = 180$ маємо $180 - 2 x - 3 y + 6 = 120$ , тобто $2 x + 3 y = 66$ , $x = \frac{66 - 3 y}{2}$ .
Підставимо в $x y = 180$ : $\frac{( 66 - 3 y ) y}{2} = 180$ , $66 y - 3 y^{2} = 360$ , $y^{2} - 22 y + 120 = 0$ .
$D = 484 - 480 = 4$ , $y_{1} = \frac{22 + 2}{2} = 12$ , $y_{2} = \frac{22 - 2}{2} = 10$ . Тоді $x_{1} = \frac{66 - 36}{2} = 15$ , $x_{2} = \frac{66 - 30}{2} = 18$ .
Обидві пари підходять: $15 \cdot 12 = 180$ і $12 \cdot 10 = 120$ ; $18 \cdot 10 = 180$ і $15 \cdot 8 = 120$ .

Відповідь:

$15$ см і $12$ см або $18$ см і $10$ см (першу з названих сторін зменшують на $3$ см).

Розбір зрозумілий?