Завдання 14.4, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.4

Катет і гіпотенуза

Периметр прямокутного трикутника $40$ см, один із катетів $8$ см. Знайдіть другий катет і гіпотенузу.

Розв’язання

Нехай другий катет $x$ см, гіпотенуза $c$ см. Тоді $8 + x + c = 40$ і $c^{2} = x^{2} + 8^{2}$ : ${c + x = 32, c^{2} - x^{2} = 64.$
$c^{2} - x^{2} = (c - x) (c + x) = 32 (c - x) = 64$ , звідси $c - x = 2$ .
${c + x = 32, c - x = 2$ — додаємо: $2 c = 34$ , $c = 17$ ; $x = 32 - 17 = 15$ .
Перевірка: $8 + 15 + 17 = 40$ , $8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 1 7^{2}$ .

Відповідь:

Другий катет $15$ см, гіпотенуза $17$ см.

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.4 с. 132

Катет і гіпотенуза

Умова

Периметр прямокутного трикутника $40$ см, один із катетів $8$ см. Знайдіть другий катет і гіпотенузу.

Що треба знати

Математична модель задачі — її умова, записана мовою математики. Невідомі сторони позначаємо $x$ і $y$ , за умовою складаємо систему рівнянь, розв’язуємо її й залишаємо лише додатні значення. Для прямокутника зі сторонами $a$ і $b$ : $P = 2 (a + b)$ , $S = ab$ ; для прямокутного трикутника з катетами $a$ , $b$ і гіпотенузою $c$ : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , $S = \frac{ab}{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Склади систему з периметра й теореми Піфагора, а різницю квадратів розклади на множники.

Розв’язання крок за кроком

Нехай другий катет $x$ см, гіпотенуза $c$ см. Тоді $8 + x + c = 40$ і $c^{2} = x^{2} + 8^{2}$ : ${c + x = 32, c^{2} - x^{2} = 64.$
$c^{2} - x^{2} = (c - x) (c + x) = 32 (c - x) = 64$ , звідси $c - x = 2$ .
${c + x = 32, c - x = 2$ — додаємо: $2 c = 34$ , $c = 17$ ; $x = 32 - 17 = 15$ .
Перевірка: $8 + 15 + 17 = 40$ , $8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 1 7^{2}$ .

Відповідь:

Другий катет $15$ см, гіпотенуза $17$ см.

Розбір зрозумілий?