Завдання 14.3, 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 14.3

Катети за гіпотенузою й площею

Гіпотенуза прямокутного трикутника $13$ см, площа — $30$ см². Знайдіть катети.

Розв’язання

Нехай катети $a$ см і $b$ см. Тоді ${a^{2} + b^{2} = 169, \frac{ab}{2} = 30,$ тобто $ab = 60$ .
$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab = 169 + 120 = 289$ , оскільки $a + b > 0$ , то $a + b = 17$ .
$a$ і $b$ — корені рівняння $t^{2} - 17 t + 60 = 0$ : $D = 289 - 240 = 49$ , $t_{1} = \frac{17 + 7}{2} = 12$ , $t_{2} = \frac{17 - 7}{2} = 5$ .
Перевірка: $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$ , $\frac{5 \cdot 12}{2} = 30$ .

Відповідь:

$5$ см і $12$ см.

Розбір зрозумілий?

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі Завдання 14.3 с. 132

Катети за гіпотенузою й площею

Умова

Гіпотенуза прямокутного трикутника $13$ см, площа — $30$ см². Знайдіть катети.

Що треба знати

Математична модель задачі — її умова, записана мовою математики. Невідомі сторони позначаємо $x$ і $y$ , за умовою складаємо систему рівнянь, розв’язуємо її й залишаємо лише додатні значення. Для прямокутника зі сторонами $a$ і $b$ : $P = 2 (a + b)$ , $S = ab$ ; для прямокутного трикутника з катетами $a$ , $b$ і гіпотенузою $c$ : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , $S = \frac{ab}{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Запиши теорему Піфагора і формулу площі, потім знайди суму катетів через квадрат суми.

Розв’язання крок за кроком

Нехай катети $a$ см і $b$ см. Тоді ${a^{2} + b^{2} = 169, \frac{ab}{2} = 30,$ тобто $ab = 60$ .
$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab = 169 + 120 = 289$ , оскільки $a + b > 0$ , то $a + b = 17$ .
$a$ і $b$ — корені рівняння $t^{2} - 17 t + 60 = 0$ : $D = 289 - 240 = 49$ , $t_{1} = \frac{17 + 7}{2} = 12$ , $t_{2} = \frac{17 - 7}{2} = 5$ .
Перевірка: $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$ , $\frac{5 \cdot 12}{2} = 30$ .

Відповідь:

$5$ см і $12$ см.

Розбір зрозумілий?