Завдання 13.32, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.32

Суми, що не є квадратами

Чи існують 100 натуральних чисел, у яких жодна сума кількох із них не є квадратом натурального числа?

Розв’язання

Так, існують. Візьмемо просте число $p > 5050$ (простих чисел нескінченно багато; підходить, наприклад, $p = 5051$ ) і числа $p, 2 p, 3 p, \dots, 100 p$ .
Будь-яка сума кількох із них дорівнює $p \cdot S$ , де $S$ — сума кількох різних чисел від $1$ до $100$ , тому $1 ⩽ S ⩽ 1 + 2 + \dots + 100 = 5050 < p$ .
Отже, $p \cdot S$ ділиться на $p$ , але не ділиться на $p^{2}$ (бо $0 < S < p$ , і $S$ не ділиться на $p$ ). А квадрат натурального числа, що ділиться на просте $p$ , ділиться й на $p^{2}$ . Тому жодна така сума (і жодне окреме число) не є квадратом натурального числа.

Відповідь:

Так; наприклад, числа $p, 2 p, \dots, 100 p$ , де $p$ — просте число, більше за $5050$ (скажімо, $p = 5051$ ).

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.32 с. 128

Умова

Чи існують 100 натуральних чисел, у яких жодна сума кількох із них не є квадратом натурального числа?

Що треба знати

Якщо квадрат натурального числа ділиться на просте число $p$ , то й саме число ділиться на $p$ , а тому квадрат ділиться на $p^{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Візьми числа, кратні великому простому числу $p$ , так, щоб усі їхні суми ділилися на $p$ , але не на $p^{2}$ .

Розв’язання крок за кроком

Так, існують. Візьмемо просте число $p > 5050$ (простих чисел нескінченно багато; підходить, наприклад, $p = 5051$ ) і числа $p, 2 p, 3 p, \dots, 100 p$ .
Будь-яка сума кількох із них дорівнює $p \cdot S$ , де $S$ — сума кількох різних чисел від $1$ до $100$ , тому $1 ⩽ S ⩽ 1 + 2 + \dots + 100 = 5050 < p$ .
Отже, $p \cdot S$ ділиться на $p$ , але не ділиться на $p^{2}$ (бо $0 < S < p$ , і $S$ не ділиться на $p$ ). А квадрат натурального числа, що ділиться на просте $p$ , ділиться й на $p^{2}$ . Тому жодна така сума (і жодне окреме число) не є квадратом натурального числа.

Відповідь:

Так; наприклад, числа $p, 2 p, \dots, 100 p$ , де $p$ — просте число, більше за $5050$ (скажімо, $p = 5051$ ).

Розбір зрозумілий?