Завдання 13.26, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.26

Спільний корінь двох рівнянь

Знайдіть усі $a$ , при яких рівняння $a x^{2} + x + 1 = 0$ і $x^{2} + a x + 1 = 0$ мають хоча б один спільний корінь.

Розв’язання

Нехай $x_{0}$ — спільний корінь. Віднімемо рівності: $(a - 1) x_{0}^{2} + (1 - a) x_{0} = 0$ , тобто $(a - 1) x_{0} (x_{0} - 1) = 0$ .
Якщо $a = 1$ , обидва рівняння мають вигляд $x^{2} + x + 1 = 0$ , а $D = 1 - 4 < 0$ — коренів немає, отже, немає й спільного.
Якщо $x_{0} = 0$ , то з другого рівняння $1 = 0$ — неможливо.
Якщо $x_{0} = 1$ , то з другого рівняння $1 + a + 1 = 0$ , $a = - 2$ . Перевірка: $- 2 \cdot 1 + 1 + 1 = 0$ і $1 - 2 + 1 = 0$ — число $1$ справді спільний корінь.

Відповідь:

$a = - 2$ (спільний корінь $x = 1$ ).

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.26 с. 127

Спільний корінь двох рівнянь

Умова

Знайдіть усі $a$ , при яких рівняння $a x^{2} + x + 1 = 0$ і $x^{2} + a x + 1 = 0$ мають хоча б один спільний корінь.

Що треба знати

Спільний корінь двох рівнянь задовольняє кожне з них, а отже, і їхню різницю. З різниці зазвичай легко знайти, яким може бути цей корінь, а потім залишається перевірити кандидатів підстановкою.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Нехай спільний корінь існує; відніми одне рівняння від другого й розклади різницю на множники.

Розв’язання крок за кроком

Нехай $x_{0}$ — спільний корінь. Віднімемо рівності: $(a - 1) x_{0}^{2} + (1 - a) x_{0} = 0$ , тобто $(a - 1) x_{0} (x_{0} - 1) = 0$ .
Якщо $a = 1$ , обидва рівняння мають вигляд $x^{2} + x + 1 = 0$ , а $D = 1 - 4 < 0$ — коренів немає, отже, немає й спільного.
Якщо $x_{0} = 0$ , то з другого рівняння $1 = 0$ — неможливо.
Якщо $x_{0} = 1$ , то з другого рівняння $1 + a + 1 = 0$ , $a = - 2$ . Перевірка: $- 2 \cdot 1 + 1 + 1 = 0$ і $1 - 2 + 1 = 0$ — число $1$ справді спільний корінь.

Відповідь:

$a = - 2$ (спільний корінь $x = 1$ ).

Розбір зрозумілий?