Завдання 13.25, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.25

Кількість розв’язків з параметром

Скільки розв’язків залежно від $a$ має система: 1) ${x^{2} + y^{2} = 9, y = a - ∣ x ∣;$ 2) ${x^{2} + y^{2} = a^{2}, x y = 4 ?$

Розв’язання

1) Графік першого рівняння — коло радіуса $3$ з центром $(0; 0)$ ; графік другого — «кут» із вершиною $(0; a)$ , сторони якого йдуть униз по прямих $y = a - x$ (при $x ⩾ 0$ ) і $y = a + x$ (при $x ⩽ 0$ ). Обидві фігури симетричні відносно осі $y$ , тому кожному розв’язку з $x > 0$ відповідає розв’язок із $- x$ .
При $x ⩾ 0$ : $x^{2} + (a - x)^{2} = 9$ , тобто $2 x^{2} - 2 a x + a^{2} - 9 = 0$ ; $\frac{D}{4} = 18 - a^{2}$ , сума коренів дорівнює $a$ , добуток — $\frac{a ^{2} - 9}{2}$ . Рахуємо невід’ємні корені.
$a > 32$ : $D < 0$ — розв’язків немає. $a = 32$ : один корінь $x = \frac{3 2}{2} > 0$ (сторони кута дотикаються до кола) — 2 розв’язки. $3 < a < 32$ : обидва корені додатні (сума й добуток додатні) — 4 розв’язки.
$a = 3$ : корені $0$ і $3$ — точки $(0; 3)$ , $(3; 0)$ , $(- 3; 0)$ , тобто 3 розв’язки. $- 3 < a < 3$ : добуток коренів від’ємний, тож додатний корінь один — 2 розв’язки.
$a = - 3$ : корені $0$ і $- 3$ , підходить лише $x = 0$ — 1 розв’язок $(0; - 3)$ . $a < - 3$ : невід’ємних коренів немає (обидва корені від’ємні або їх немає; вершина кута лежить нижче кола) — розв’язків немає.
2) $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = a^{2} + 8$ , $(x - y)^{2} = a^{2} - 8$ ; ці два рівняння разом рівносильні даній системі. Якщо $a^{2} < 8$ , тобто $∣ a ∣ < 22$ , то $(x - y)^{2} < 0$ — розв’язків немає. Якщо $a = \pm 22$ , то $x = y$ , $x + y = \pm 4$ : розв’язки $(2; 2)$ , $(- 2; - 2)$ (коло дотикається до гіперболи) — два. Якщо $∣ a ∣ > 22$ , то $x + y = \pm a^{2} + 8$ , $x - y = \pm a^{2} - 8$ — чотири різні комбінації знаків, отже, чотири розв’язки.

Відповідь:

1) $a < - 3$ — розв’язків немає; $a = - 3$ — один; $- 3 < a < 3$ — два; $a = 3$ — три; $3 < a < 32$ — чотири; $a = 32$ — два; $a > 32$ — немає. 2) $∣ a ∣ < 22$ — немає; $a = \pm 22$ — два; $∣ a ∣ > 22$ — чотири.

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.25 с. 127

Кількість розв’язків з параметром

Умова

Скільки розв’язків залежно від $a$ має система: 1) ${x^{2} + y^{2} = 9, y = a - ∣ x ∣;$ 2) ${x^{2} + y^{2} = a^{2}, x y = 4 ?$

Що треба знати

Щоб з’ясувати кількість розв’язків системи з параметром, її часто зводять до одного квадратного рівняння: якщо кожному кореню відповідає рівно одна пара $(x; y)$ , то при $D > 0$ розв’язків два, при $D = 0$ — один, при $D < 0$ — жодного. Інакше допомагає рисунок: розв’язків стільки, скільки спільних точок мають графіки. Графік $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ — коло радіуса $R$ із центром у початку координат.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Обидві системи симетричні: розв’язок із $x > 0$ дає парний йому з $- x$ . Дослідж корені окремо для $x ⩾ 0$ і окремо — точки на осі $y$ .

Розв’язання крок за кроком

1) Графік першого рівняння — коло радіуса $3$ з центром $(0; 0)$ ; графік другого — «кут» із вершиною $(0; a)$ , сторони якого йдуть униз по прямих $y = a - x$ (при $x ⩾ 0$ ) і $y = a + x$ (при $x ⩽ 0$ ). Обидві фігури симетричні відносно осі $y$ , тому кожному розв’язку з $x > 0$ відповідає розв’язок із $- x$ .
При $x ⩾ 0$ : $x^{2} + (a - x)^{2} = 9$ , тобто $2 x^{2} - 2 a x + a^{2} - 9 = 0$ ; $\frac{D}{4} = 18 - a^{2}$ , сума коренів дорівнює $a$ , добуток — $\frac{a ^{2} - 9}{2}$ . Рахуємо невід’ємні корені.
$a > 32$ : $D < 0$ — розв’язків немає. $a = 32$ : один корінь $x = \frac{3 2}{2} > 0$ (сторони кута дотикаються до кола) — 2 розв’язки. $3 < a < 32$ : обидва корені додатні (сума й добуток додатні) — 4 розв’язки.
$a = 3$ : корені $0$ і $3$ — точки $(0; 3)$ , $(3; 0)$ , $(- 3; 0)$ , тобто 3 розв’язки. $- 3 < a < 3$ : добуток коренів від’ємний, тож додатний корінь один — 2 розв’язки.
$a = - 3$ : корені $0$ і $- 3$ , підходить лише $x = 0$ — 1 розв’язок $(0; - 3)$ . $a < - 3$ : невід’ємних коренів немає (обидва корені від’ємні або їх немає; вершина кута лежить нижче кола) — розв’язків немає.
2) $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = a^{2} + 8$ , $(x - y)^{2} = a^{2} - 8$ ; ці два рівняння разом рівносильні даній системі. Якщо $a^{2} < 8$ , тобто $∣ a ∣ < 22$ , то $(x - y)^{2} < 0$ — розв’язків немає. Якщо $a = \pm 22$ , то $x = y$ , $x + y = \pm 4$ : розв’язки $(2; 2)$ , $(- 2; - 2)$ (коло дотикається до гіперболи) — два. Якщо $∣ a ∣ > 22$ , то $x + y = \pm a^{2} + 8$ , $x - y = \pm a^{2} - 8$ — чотири різні комбінації знаків, отже, чотири розв’язки.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?