Завдання 13.24, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.24

Кількість розв’язків з параметром

Скільки розв’язків залежно від $a$ має система: 1) ${y = ∣ x ∣, x^{2} + y = a;$ 2) ${x^{2} + y^{2} = a^{2}, ∣ x ∣ = 4 ?$

Розв’язання

1) Підставимо $y = ∣ x ∣$ : $x^{2} + ∣ x ∣ = a$ . Оскільки $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ , позначимо $∣ x ∣ = t ⩾ 0$ : $t^{2} + t = a$ . При $t ⩾ 0$ вираз $t^{2} + t$ зростає, починаючи від $0$ . Тому при $a < 0$ невід’ємних коренів немає; при $a = 0$ маємо лише $t = 0$ , тобто $(0; 0)$ ; при $a > 0$ є один додатний корінь $t$ , йому відповідають $x = \pm t$ , $y = t$ — два розв’язки. (Графічно: «галочка» $y = ∣ x ∣$ і парабола $y = a - x^{2}$ з вершиною $(0; a)$ та вітками вниз.)
2) $∣ x ∣ = 4$ дає $x = 4$ або $x = - 4$ ; тоді $y^{2} = a^{2} - 16$ . Якщо $a^{2} < 16$ , тобто $- 4 < a < 4$ , то $y$ не існує — розв’язків немає. Якщо $a = \pm 4$ , то $y = 0$ : два розв’язки $(4; 0)$ , $(- 4; 0)$ . Якщо $a < - 4$ або $a > 4$ , то $y = \pm a^{2} - 16$ , і разом із двома значеннями $x$ маємо чотири розв’язки.

Відповідь:

1) при $a < 0$ — розв’язків немає; при $a = 0$ — один; при $a > 0$ — два. 2) при $- 4 < a < 4$ — немає; при $a = \pm 4$ — два; при $a < - 4$ або $a > 4$ — чотири.

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.24 с. 127

Кількість розв’язків з параметром

Умова

Скільки розв’язків залежно від $a$ має система: 1) ${y = ∣ x ∣, x^{2} + y = a;$ 2) ${x^{2} + y^{2} = a^{2}, ∣ x ∣ = 4 ?$

Що треба знати

Щоб з’ясувати кількість розв’язків системи з параметром, її часто зводять до одного квадратного рівняння: якщо кожному кореню відповідає рівно одна пара $(x; y)$ , то при $D > 0$ розв’язків два, при $D = 0$ — один, при $D < 0$ — жодного. Інакше допомагає рисунок: розв’язків стільки, скільки спільних точок мають графіки. Графік $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ — коло радіуса $R$ із центром у початку координат.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У 1) заміни $∣ x ∣ = t ⩾ 0$ ; у 2) $x = \pm 4$ , тож залишається дослідити рівняння $y^{2} = a^{2} - 16$ .

Розв’язання крок за кроком

1) Підставимо $y = ∣ x ∣$ : $x^{2} + ∣ x ∣ = a$ . Оскільки $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ , позначимо $∣ x ∣ = t ⩾ 0$ : $t^{2} + t = a$ . При $t ⩾ 0$ вираз $t^{2} + t$ зростає, починаючи від $0$ . Тому при $a < 0$ невід’ємних коренів немає; при $a = 0$ маємо лише $t = 0$ , тобто $(0; 0)$ ; при $a > 0$ є один додатний корінь $t$ , йому відповідають $x = \pm t$ , $y = t$ — два розв’язки. (Графічно: «галочка» $y = ∣ x ∣$ і парабола $y = a - x^{2}$ з вершиною $(0; a)$ та вітками вниз.)
2) $∣ x ∣ = 4$ дає $x = 4$ або $x = - 4$ ; тоді $y^{2} = a^{2} - 16$ . Якщо $a^{2} < 16$ , тобто $- 4 < a < 4$ , то $y$ не існує — розв’язків немає. Якщо $a = \pm 4$ , то $y = 0$ : два розв’язки $(4; 0)$ , $(- 4; 0)$ . Якщо $a < - 4$ або $a > 4$ , то $y = \pm a^{2} - 16$ , і разом із двома значеннями $x$ маємо чотири розв’язки.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?