Завдання 13.22, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.22

Коло і пряма з параметром

При яких $a$ система ${x^{2} + y^{2} = 9, x - y = a$ має: 1) один розв’язок; 2) два розв’язки; 3) жодного розв’язку?

Розв’язання

З другого рівняння $x = y + a$ . Підставимо: $(y + a)^{2} + y^{2} = 9$ ; $2 y^{2} + 2 a y + a^{2} - 9 = 0$ . Кожному кореню $y$ відповідає одне $x = y + a$ , тож розв’язків системи стільки, скільки коренів у цього рівняння: $\frac{D}{4} = a^{2} - 2 (a^{2} - 9) = 18 - a^{2}$ .
1) Один розв’язок при $D = 0$ : $a^{2} = 18$ , $a = \pm 32$ (пряма $y = x - a$ дотикається до кола).
2) Два розв’язки при $D > 0$ : $a^{2} < 18$ , тобто $- 32 < a < 32$ .
3) Немає розв’язків при $D < 0$ : $a^{2} > 18$ , тобто $a < - 32$ або $a > 32$ .

Відповідь:

1) $a = \pm 32$ ; 2) $- 32 < a < 32$ ; 3) $a < - 32$ або $a > 32$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.22 с. 127

Коло і пряма з параметром

Умова

При яких $a$ система ${x^{2} + y^{2} = 9, x - y = a$ має: 1) один розв’язок; 2) два розв’язки; 3) жодного розв’язку?

Що треба знати

Щоб з’ясувати кількість розв’язків системи з параметром, її часто зводять до одного квадратного рівняння: якщо кожному кореню відповідає рівно одна пара $(x; y)$ , то при $D > 0$ розв’язків два, при $D = 0$ — один, при $D < 0$ — жодного. Інакше допомагає рисунок: розв’язків стільки, скільки спільних точок мають графіки. Графік $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ — коло радіуса $R$ із центром у початку координат.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Підстав $x = y + a$ у рівняння кола й дослідь дискримінант отриманого квадратного рівняння.

Розв’язання крок за кроком

З другого рівняння $x = y + a$ . Підставимо: $(y + a)^{2} + y^{2} = 9$ ; $2 y^{2} + 2 a y + a^{2} - 9 = 0$ . Кожному кореню $y$ відповідає одне $x = y + a$ , тож розв’язків системи стільки, скільки коренів у цього рівняння: $\frac{D}{4} = a^{2} - 2 (a^{2} - 9) = 18 - a^{2}$ .
1) Один розв’язок при $D = 0$ : $a^{2} = 18$ , $a = \pm 32$ (пряма $y = x - a$ дотикається до кола).
2) Два розв’язки при $D > 0$ : $a^{2} < 18$ , тобто $- 32 < a < 32$ .
3) Немає розв’язків при $D < 0$ : $a^{2} > 18$ , тобто $a < - 32$ або $a > 32$ .

Відповідь:

1) $a = \pm 32$ ; 2) $- 32 < a < 32$ ; 3) $a < - 32$ або $a > 32$ .

Розбір зрозумілий?