1) Перше рівняння: (x+5y)2=49, тож x+5y=7 або x+5y=−7. а) {x+5y=7,x−5y=−3:2x=4, x=2, y=1. б) {x+5y=−7,x−5y=−3:2x=−10, x=−5, 10y=−4, y=−0,4.
2) Ліва частина першого рівняння — (x+2y)2=42=16. Отже, 4x+2y=16, тобто 2x+y=8, y=8−2x. Підставимо в x+2y=4: x+16−4x=4, x=4, y=0. Перевірка: 16+0+0=16+0, 4+0=4.
3) (x+y)2=x2+y2+2xy=10+6=16, x+y=±4. Якщо x+y=4, xy=3, то x і y — числа 1 і 3; якщо x+y=−4, xy=3, то числа −1 і −3.
4) y=−x4; x2+x2400=104; x4−104x2+400=0. Нехай x2=t: t2−104t+400=0, 4D=2704−400=2304=482, t=52±48, тобто t=100 або t=4. Якщо x=±10, то y=∓0,4; якщо x=±2, то y=∓2.
Систему рівнянь із двома змінними розв’язують підстановкою (з одного рівняння виражають змінну й підставляють в інше), додаванням або відніманням рівнянь (щоб зникла змінна чи доданок xy), виділенням повного квадрата (тоді рівняння розпадається на два простіші), заміною змінних або графічно. Корисні тотожності: x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2), (x±y)2=x2+y2±2xy. Якщо x+y=s і xy=q, то x і y — корені рівняння t2−st+q=0.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Шукай квадрат двочлена: x2+10xy+25y2 і x2+4xy+4y2 — це повні квадрати.
Розв’язання крок за кроком
1) Перше рівняння: (x+5y)2=49, тож x+5y=7 або x+5y=−7. а) {x+5y=7,x−5y=−3:2x=4, x=2, y=1. б) {x+5y=−7,x−5y=−3:2x=−10, x=−5, 10y=−4, y=−0,4.
2) Ліва частина першого рівняння — (x+2y)2=42=16. Отже, 4x+2y=16, тобто 2x+y=8, y=8−2x. Підставимо в x+2y=4: x+16−4x=4, x=4, y=0. Перевірка: 16+0+0=16+0, 4+0=4.
3) (x+y)2=x2+y2+2xy=10+6=16, x+y=±4. Якщо x+y=4, xy=3, то x і y — числа 1 і 3; якщо x+y=−4, xy=3, то числа −1 і −3.
4) y=−x4; x2+x2400=104; x4−104x2+400=0. Нехай x2=t: t2−104t+400=0, 4D=2704−400=2304=482, t=52±48, тобто t=100 або t=4. Якщо x=±10, то y=∓0,4; якщо x=±2, то y=∓2.
