1) Перше рівняння: (x−6y)2=36, тож x−6y=6 або x−6y=−6. а) {x+6y=8,x−6y=6:2x=14, x=7, y=61. б) {x+6y=8,x−6y=−6:2x=2, x=1, y=67.
2) Друге рівняння: (x+3y)2=100, тож x+3y=10 або x+3y=−10. а) x=10−3y: y2−2y(10−3y)=32; 7y2−20y−32=0, D=400+896=1296=362, y=4 або y=−78; тоді x=−2 або x=794. б) x=−10−3y: y2+2y(10+3y)=32; 7y2+20y−32=0, y=−4 або y=78; тоді x=2 або x=−794. Перевірка (−2;4): 16+16=32, (−2+12)2=100.
3) Додамо до першого рівняння подвоєне друге: (x+y)2=25+24=49, x+y=±7. Якщо x+y=7, xy=12, то x, y — корені t2−7t+12=0, тобто 3 і 4. Якщо x+y=−7, xy=12, то це корені t2+7t+12=0, тобто −3 і −4.
4) З другого рівняння y=−x1. Тоді 9x2+x21=10; 9x4−10x2+1=0. Нехай x2=t: 9t2−10t+1=0, t=1 або t=91. Якщо x=±1, то y=∓1; якщо x=±31, то y=∓3. Перевірка (31;−3): 1+9=10, xy=−1.
Систему рівнянь із двома змінними розв’язують підстановкою (з одного рівняння виражають змінну й підставляють в інше), додаванням або відніманням рівнянь (щоб зникла змінна чи доданок xy), виділенням повного квадрата (тоді рівняння розпадається на два простіші), заміною змінних або графічно. Корисні тотожності: x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2), (x±y)2=x2+y2±2xy. Якщо x+y=s і xy=q, то x і y — корені рівняння t2−st+q=0.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Помітивши квадрат двочлена, добудь з обох частин корінь — система розпадеться на дві простіші.
Розв’язання крок за кроком
1) Перше рівняння: (x−6y)2=36, тож x−6y=6 або x−6y=−6. а) {x+6y=8,x−6y=6:2x=14, x=7, y=61. б) {x+6y=8,x−6y=−6:2x=2, x=1, y=67.
2) Друге рівняння: (x+3y)2=100, тож x+3y=10 або x+3y=−10. а) x=10−3y: y2−2y(10−3y)=32; 7y2−20y−32=0, D=400+896=1296=362, y=4 або y=−78; тоді x=−2 або x=794. б) x=−10−3y: y2+2y(10+3y)=32; 7y2+20y−32=0, y=−4 або y=78; тоді x=2 або x=−794. Перевірка (−2;4): 16+16=32, (−2+12)2=100.
3) Додамо до першого рівняння подвоєне друге: (x+y)2=25+24=49, x+y=±7. Якщо x+y=7, xy=12, то x, y — корені t2−7t+12=0, тобто 3 і 4. Якщо x+y=−7, xy=12, то це корені t2+7t+12=0, тобто −3 і −4.
4) З другого рівняння y=−x1. Тоді 9x2+x21=10; 9x4−10x2+1=0. Нехай x2=t: 9t2−10t+1=0, t=1 або t=91. Якщо x=±1, то y=∓1; якщо x=±31, то y=∓3. Перевірка (31;−3): 1+9=10, xy=−1.
