1) Додамо рівняння: 2(x+y)=10, x+y=5. Віднімемо від другого перше: 2xy=8, xy=4. Тоді x і y — корені рівняння t2−5t+4=0, тобто числа 1 і 4. Розв’язки: (1;4) і (4;1).
2) Віднімемо від першого рівняння друге: 2x−y=4, y=2x−4. Тоді 3x(2x−4)+2x=−4; 6x2−10x+4=0; 3x2−5x+2=0, D=1, x1=1, x2=32; y1=−2, y2=−38. Перевірка (1;−2): −6+2=−4, −6−2=−8.
3) Віднімемо від першого рівняння друге: y−x=−1, y=x−1. Тоді x(x−1)−x=24; x2−2x−24=0; x1=6, x2=−4; y1=5, y2=−5. Перевірка: 30−6=24, 30−5=25; 20+4=24, 20+5=25.
4) Додамо рівняння: 4x2=100, x2=25, x=±5. Віднімемо: 2y2=32, y2=16, y=±4. Знаки x і y вибираються незалежно — маємо чотири пари. Перевірка: 50+16=66, 50−16=34.
Систему рівнянь із двома змінними розв’язують підстановкою (з одного рівняння виражають змінну й підставляють в інше), додаванням або відніманням рівнянь (щоб зникла змінна чи доданок xy), виділенням повного квадрата (тоді рівняння розпадається на два простіші), заміною змінних або графічно. Корисні тотожності: x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2), (x±y)2=x2+y2±2xy. Якщо x+y=s і xy=q, то x і y — корені рівняння t2−st+q=0.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Почленно додай або відніми рівняння: спільні доданки зникнуть, і система спроститься.
Розв’язання крок за кроком
1) Додамо рівняння: 2(x+y)=10, x+y=5. Віднімемо від другого перше: 2xy=8, xy=4. Тоді x і y — корені рівняння t2−5t+4=0, тобто числа 1 і 4. Розв’язки: (1;4) і (4;1).
2) Віднімемо від першого рівняння друге: 2x−y=4, y=2x−4. Тоді 3x(2x−4)+2x=−4; 6x2−10x+4=0; 3x2−5x+2=0, D=1, x1=1, x2=32; y1=−2, y2=−38. Перевірка (1;−2): −6+2=−4, −6−2=−8.
3) Віднімемо від першого рівняння друге: y−x=−1, y=x−1. Тоді x(x−1)−x=24; x2−2x−24=0; x1=6, x2=−4; y1=5, y2=−5. Перевірка: 30−6=24, 30−5=25; 20+4=24, 20+5=25.
4) Додамо рівняння: 4x2=100, x2=25, x=±5. Віднімемо: 2y2=32, y2=16, y=±4. Знаки x і y вибираються незалежно — маємо чотири пари. Перевірка: 50+16=66, 50−16=34.
