Завдання 13.18, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.18

Метод додавання для систем

Розв’яжіть систему: 1) ${3 y - 2 x y = 2, x + 2 x y = 5;$ 2) ${x y + y = 30, x y + x = 28;$ 3) ${x^{2} + y^{2} + x + y = 18, x^{2} - y^{2} + x - y = 6;$ 4) ${2 x^{2} - 5 x y + 3 x - 2 y = 10, 5 x y - 2 x^{2} + 7 x - 8 y = 10.$

Розв’язання

1) Додамо рівняння: $3 y + x = 7$ , $x = 7 - 3 y$ . Підставимо в друге: $7 - 3 y + 2 y (7 - 3 y) = 5$ ; $- 6 y^{2} + 11 y + 2 = 0$ ; $6 y^{2} - 11 y - 2 = 0$ , $D = 121 + 48 = 169$ , $y_{1} = 2$ , $y_{2} = - \frac{1}{6}$ . Тоді $x_{1} = 7 - 6 = 1$ , $x_{2} = 7 + \frac{1}{2} = 7, 5$ . Перевірка $(1; 2)$ : $6 - 4 = 2$ , $1 + 4 = 5$ .
2) Віднімемо від першого рівняння друге: $y - x = 2$ , $y = x + 2$ . Тоді $x (x + 2) + x = 28$ ; $x^{2} + 3 x - 28 = 0$ ; $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 7$ ; $y_{1} = 6$ , $y_{2} = - 5$ . Перевірка: $24 + 6 = 30$ , $24 + 4 = 28$ ; $35 - 5 = 30$ , $35 - 7 = 28$ .
3) Додамо рівняння: $2 x^{2} + 2 x = 24$ , $x^{2} + x - 12 = 0$ , $x = 3$ або $x = - 4$ . Віднімемо: $2 y^{2} + 2 y = 12$ , $y^{2} + y - 6 = 0$ , $y = 2$ або $y = - 3$ . Система «сума й різниця рівнянь» рівносильна даній, а $x$ і $y$ знайдено незалежно, тому підходить кожна з чотирьох комбінацій. Перевірка $(- 4; - 3)$ : $16 + 9 - 4 - 3 = 18$ , $16 - 9 - 4 + 3 = 6$ .
4) Додамо рівняння: $10 x - 10 y = 20$ , $x = y + 2$ . Підставимо в перше: $2 (y + 2)^{2} - 5 y (y + 2) + 3 (y + 2) - 2 y = 10$ ; $- 3 y^{2} - y + 14 = 10$ ; $3 y^{2} + y - 4 = 0$ , $D = 49$ , $y_{1} = 1$ , $y_{2} = - \frac{4}{3}$ . Тоді $x_{1} = 3$ , $x_{2} = \frac{2}{3}$ . Перевірка $(3; 1)$ : $18 - 15 + 9 - 2 = 10$ , $15 - 18 + 21 - 8 = 10$ .

Відповідь:

1) $(1; 2)$ , $(7, 5; - \frac{1}{6})$ ; 2) $(4; 6)$ , $(- 7; - 5)$ ; 3) $(3; 2)$ , $(3; - 3)$ , $(- 4; 2)$ , $(- 4; - 3)$ ; 4) $(3; 1)$ , $(\frac{2}{3}; - \frac{4}{3})$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.18 с. 126

Метод додавання для систем

Умова

Що треба знати

Систему рівнянь із двома змінними розв’язують підстановкою (з одного рівняння виражають змінну й підставляють в інше), додаванням або відніманням рівнянь (щоб зникла змінна чи доданок $x y$ ), виділенням повного квадрата (тоді рівняння розпадається на два простіші), заміною змінних або графічно. Корисні тотожності: $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ , $(x \pm y)^{2} = x^{2} + y^{2} \pm 2 x y$ . Якщо $x + y = s$ і $x y = q$ , то $x$ і $y$ — корені рівняння $t^{2} - s t + q = 0$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Додай або відніми рівняння так, щоб зникли доданки з $x y$ чи $x^{2}$ , і отримаєш просте лінійне рівняння.

Розв’язання крок за кроком

1) Додамо рівняння: $3 y + x = 7$ , $x = 7 - 3 y$ . Підставимо в друге: $7 - 3 y + 2 y (7 - 3 y) = 5$ ; $- 6 y^{2} + 11 y + 2 = 0$ ; $6 y^{2} - 11 y - 2 = 0$ , $D = 121 + 48 = 169$ , $y_{1} = 2$ , $y_{2} = - \frac{1}{6}$ . Тоді $x_{1} = 7 - 6 = 1$ , $x_{2} = 7 + \frac{1}{2} = 7, 5$ . Перевірка $(1; 2)$ : $6 - 4 = 2$ , $1 + 4 = 5$ .
2) Віднімемо від першого рівняння друге: $y - x = 2$ , $y = x + 2$ . Тоді $x (x + 2) + x = 28$ ; $x^{2} + 3 x - 28 = 0$ ; $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 7$ ; $y_{1} = 6$ , $y_{2} = - 5$ . Перевірка: $24 + 6 = 30$ , $24 + 4 = 28$ ; $35 - 5 = 30$ , $35 - 7 = 28$ .
3) Додамо рівняння: $2 x^{2} + 2 x = 24$ , $x^{2} + x - 12 = 0$ , $x = 3$ або $x = - 4$ . Віднімемо: $2 y^{2} + 2 y = 12$ , $y^{2} + y - 6 = 0$ , $y = 2$ або $y = - 3$ . Система «сума й різниця рівнянь» рівносильна даній, а $x$ і $y$ знайдено незалежно, тому підходить кожна з чотирьох комбінацій. Перевірка $(- 4; - 3)$ : $16 + 9 - 4 - 3 = 18$ , $16 - 9 - 4 + 3 = 6$ .
4) Додамо рівняння: $10 x - 10 y = 20$ , $x = y + 2$ . Підставимо в перше: $2 (y + 2)^{2} - 5 y (y + 2) + 3 (y + 2) - 2 y = 10$ ; $- 3 y^{2} - y + 14 = 10$ ; $3 y^{2} + y - 4 = 0$ , $D = 49$ , $y_{1} = 1$ , $y_{2} = - \frac{4}{3}$ . Тоді $x_{1} = 3$ , $x_{2} = \frac{2}{3}$ . Перевірка $(3; 1)$ : $18 - 15 + 9 - 2 = 10$ , $15 - 18 + 21 - 8 = 10$ .

Відповідь:

1) $(1; 2)$ , $(7, 5; - \frac{1}{6})$ ; 2) $(4; 6)$ , $(- 7; - 5)$ ; 3) $(3; 2)$ , $(3; - 3)$ , $(- 4; 2)$ , $(- 4; - 3)$ ; 4) $(3; 1)$ , $(\frac{2}{3}; - \frac{4}{3})$ .

Розбір зрозумілий?