1) x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)=2(x2+xy+y2)=56, тож x2+xy+y2=28. Підставимо x=y+2: (y+2)2+(y+2)y+y2=28; 3y2+6y−24=0; y2+2y−8=0; y1=2, y2=−4. Тоді x1=4, x2=−2. Перевірка: 64−8=56; −8+64=56.
2) З другого рівняння y=x3 (x=0). Тоді 5x2−x29=−4; 5x4+4x2−9=0. Нехай x2=t⩾0: 5t2+4t−9=0, D=16+180=196, t1=1, t2=−1,8 (не підходить). x2=1: x=1, y=3 або x=−1, y=−3. Перевірка: 5−9=−4, 1⋅3=3.
Відповідь:
1) (4;2), (−2;−4); 2) (1;3), (−1;−3).
Розбір зрозумілий?
13. Системи рівнянь із двома зміннимиЗавдання 13.17с. 126
Систему рівнянь із двома змінними розв’язують підстановкою (з одного рівняння виражають змінну й підставляють в інше), додаванням або відніманням рівнянь (щоб зникла змінна чи доданок xy), виділенням повного квадрата (тоді рівняння розпадається на два простіші), заміною змінних або графічно. Корисні тотожності: x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2), (x±y)2=x2+y2±2xy. Якщо x+y=s і xy=q, то x і y — корені рівняння t2−st+q=0.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
У 1) розклади різницю кубів і скористайся тим, що x−y=2; у 2) вирази y через x і отримай біквадратне рівняння.
Розв’язання крок за кроком
1) x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)=2(x2+xy+y2)=56, тож x2+xy+y2=28. Підставимо x=y+2: (y+2)2+(y+2)y+y2=28; 3y2+6y−24=0; y2+2y−8=0; y1=2, y2=−4. Тоді x1=4, x2=−2. Перевірка: 64−8=56; −8+64=56.
2) З другого рівняння y=x3 (x=0). Тоді 5x2−x29=−4; 5x4+4x2−9=0. Нехай x2=t⩾0: 5t2+4t−9=0, D=16+180=196, t1=1, t2=−1,8 (не підходить). x2=1: x=1, y=3 або x=−1, y=−3. Перевірка: 5−9=−4, 1⋅3=3.
