Завдання 13.16, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.16

Системи вищих степенів

Розв’яжіть систему: 1) ${x^{3} + y^{3} = 1, x + y = 1;$ 2) ${x^{3} - y^{3} = 28, x^{2} + x y + y^{2} = 7;$ 3) ${x^{2} - y^{2} = 7, x y = 12;$ 4) ${3 x^{2} - 2 y^{2} = 19, x y = - 6.$

Розв’язання

1) $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = x^{2} - x y + y^{2}$ , тож $x^{2} - x y + y^{2} = 1$ , тобто $(x + y)^{2} - 3 x y = 1$ , $1 - 3 x y = 1$ , $x y = 0$ . Разом із $x + y = 1$ : $x = 0$ , $y = 1$ або $x = 1$ , $y = 0$ .
2) $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ , тож $7 (x - y) = 28$ , $x - y = 4$ . $x = y + 4$ : $(y + 4)^{2} + (y + 4) y + y^{2} = 7$ , $3 y^{2} + 12 y + 9 = 0$ , $y^{2} + 4 y + 3 = 0$ , $y_{1} = - 1$ , $y_{2} = - 3$ ; $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 1$ .
3) $y = \frac{12}{x}$ : $x^{2} - \frac{144}{x ^{2}} = 7$ , $x^{4} - 7 x^{2} - 144 = 0$ . Нехай $x^{2} = t ⩾ 0$ : $t^{2} - 7 t - 144 = 0$ , $t_{1} = 16$ , $t_{2} = - 9$ (не підходить). $x = \pm 4$ , $y = \frac{12}{x} = \pm 3$ .
4) $y = - \frac{6}{x}$ : $3 x^{2} - \frac{72}{x ^{2}} = 19$ , $3 x^{4} - 19 x^{2} - 72 = 0$ . Нехай $x^{2} = t ⩾ 0$ : $3 t^{2} - 19 t - 72 = 0$ , $D = 361 + 864 = 1225$ , $t = \frac{19 \pm 35}{6}$ : $t_{1} = 9$ , $t_{2} = - \frac{8}{3}$ (не підходить). $x = \pm 3$ , $y = - \frac{6}{x} = \mp 2$ .

Відповідь:

1) $(0; 1)$ , $(1; 0)$ ; 2) $(3; - 1)$ , $(1; - 3)$ ; 3) $(4; 3)$ , $(- 4; - 3)$ ; 4) $(3; - 2)$ , $(- 3; 2)$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.16 с. 126

Системи вищих степенів

Умова

Що треба знати

Корисні формули: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ , $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , $a^{2} - ab + b^{2} = (a + b)^{2} - 3 ab$ . Якщо одне рівняння має вигляд $x y = c$ ( $c \neq = 0$ ), то $y = \frac{c}{x}$ , і після підстановки часто виходить біквадратне рівняння (заміна $x^{2} = t ⩾ 0$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У 1) і 2) розклади суму чи різницю кубів на множники; у 3) і 4) вирази $y$ через $x$ з рівняння $x y = c$ .

Розв’язання крок за кроком

1) $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = x^{2} - x y + y^{2}$ , тож $x^{2} - x y + y^{2} = 1$ , тобто $(x + y)^{2} - 3 x y = 1$ , $1 - 3 x y = 1$ , $x y = 0$ . Разом із $x + y = 1$ : $x = 0$ , $y = 1$ або $x = 1$ , $y = 0$ .
2) $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ , тож $7 (x - y) = 28$ , $x - y = 4$ . $x = y + 4$ : $(y + 4)^{2} + (y + 4) y + y^{2} = 7$ , $3 y^{2} + 12 y + 9 = 0$ , $y^{2} + 4 y + 3 = 0$ , $y_{1} = - 1$ , $y_{2} = - 3$ ; $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 1$ .
3) $y = \frac{12}{x}$ : $x^{2} - \frac{144}{x ^{2}} = 7$ , $x^{4} - 7 x^{2} - 144 = 0$ . Нехай $x^{2} = t ⩾ 0$ : $t^{2} - 7 t - 144 = 0$ , $t_{1} = 16$ , $t_{2} = - 9$ (не підходить). $x = \pm 4$ , $y = \frac{12}{x} = \pm 3$ .
4) $y = - \frac{6}{x}$ : $3 x^{2} - \frac{72}{x ^{2}} = 19$ , $3 x^{4} - 19 x^{2} - 72 = 0$ . Нехай $x^{2} = t ⩾ 0$ : $3 t^{2} - 19 t - 72 = 0$ , $D = 361 + 864 = 1225$ , $t = \frac{19 \pm 35}{6}$ : $t_{1} = 9$ , $t_{2} = - \frac{8}{3}$ (не підходить). $x = \pm 3$ , $y = - \frac{6}{x} = \mp 2$ .

Відповідь:

1) $(0; 1)$ , $(1; 0)$ ; 2) $(3; - 1)$ , $(1; - 3)$ ; 3) $(4; 3)$ , $(- 4; - 3)$ ; 4) $(3; - 2)$ , $(- 3; 2)$ .

Розбір зрозумілий?