Завдання 13.15, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.15

Заміна змінних у системі

Розв’яжіть систему: 1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2, 5, 2 x - 3 y = 3;$ 2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 2 y}{x + y} - \frac{x + y}{x - 2 y} = \frac{15}{4}, 4 x + 5 y = 3;$ 3) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4, \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10;$ 4) ${4 (x - y)^{2} + 7 (x - y) = 15, 2 x + 5 y = 1.$

Розв’язання

1) Нехай $\frac{x}{y} = t$ : $t + \frac{1}{t} = 2, 5$ , $2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ , $t_{1} = 2$ , $t_{2} = \frac{1}{2}$ . а) $x = 2 y$ : $4 y - 3 y = 3$ , $y = 3$ , $x = 6$ . б) $y = 2 x$ : $2 x - 6 x = 3$ , $x = - 0, 75$ , $y = - 1, 5$ .
2) Нехай $\frac{x - 2 y}{x + y} = t$ ( $t \neq = 0$ ): $t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$ , $4 t^{2} - 15 t - 4 = 0$ , $D = 289$ , $t_{1} = 4$ , $t_{2} = - \frac{1}{4}$ . а) $x - 2 y = 4 x + 4 y$ , $x = - 2 y$ ; $- 8 y + 5 y = 3$ , $y = - 1$ , $x = 2$ . б) $4 x - 8 y = - x - y$ , $5 x = 7 y$ , $x = 1, 4 y$ ; $5, 6 y + 5 y = 3$ , $y = \frac{15}{53}$ , $x = \frac{21}{53}$ . Знаменники в обох випадках не дорівнюють нулю.
3) Нехай $\frac{1}{x} = a$ , $\frac{1}{y} = b$ : ${a + 4 b = 4, b - 2 a = 10.$ $b = 10 + 2 a$ , $a + 40 + 8 a = 4$ , $a = - 4$ , $b = 2$ . Отже, $x = - \frac{1}{4}$ , $y = \frac{1}{2}$ .
4) Нехай $x - y = t$ : $4 t^{2} + 7 t - 15 = 0$ , $D = 49 + 240 = 289$ , $t = \frac{- 7 \pm 17}{8}$ : $t_{1} = \frac{5}{4}$ , $t_{2} = - 3$ . а) $x = y + \frac{5}{4}$ : $2 y + \frac{5}{2} + 5 y = 1$ , $7 y = - \frac{3}{2}$ , $y = - \frac{3}{14}$ , $x = \frac{29}{28}$ . б) $x = y - 3$ : $2 y - 6 + 5 y = 1$ , $y = 1$ , $x = - 2$ .

Відповідь:

1) $(6; 3)$ , $(- 0, 75; - 1, 5)$ ; 2) $(2; - 1)$ , $(\frac{21}{53}; \frac{15}{53})$ ; 3) $(- 0, 25; 0, 5)$ ; 4) $(\frac{29}{28}; - \frac{3}{14})$ , $(- 2; 1)$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.15 с. 125

Заміна змінних у системі

Умова

Що треба знати

Заміна змінних: якщо в рівняннях системи повторюються ті самі вирази (наприклад, $x + y$ і $x y$ , $\frac{x}{y}$ , $\frac{1}{x}$ і $\frac{1}{y}$ ), позначаємо їх новими буквами, розв’язуємо простішу систему чи рівняння, а потім повертаємося до $x$ і $y$ . Якщо змінні стоять у знаменниках, вони не можуть дорівнювати нулю — це враховуємо у відповіді.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Зроби заміну для виразу, що повторюється, знайди його значення, а потім розв’яжи прості системи з лінійним рівнянням.

Розв’язання крок за кроком

1) Нехай $\frac{x}{y} = t$ : $t + \frac{1}{t} = 2, 5$ , $2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ , $t_{1} = 2$ , $t_{2} = \frac{1}{2}$ . а) $x = 2 y$ : $4 y - 3 y = 3$ , $y = 3$ , $x = 6$ . б) $y = 2 x$ : $2 x - 6 x = 3$ , $x = - 0, 75$ , $y = - 1, 5$ .
2) Нехай $\frac{x - 2 y}{x + y} = t$ ( $t \neq = 0$ ): $t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$ , $4 t^{2} - 15 t - 4 = 0$ , $D = 289$ , $t_{1} = 4$ , $t_{2} = - \frac{1}{4}$ . а) $x - 2 y = 4 x + 4 y$ , $x = - 2 y$ ; $- 8 y + 5 y = 3$ , $y = - 1$ , $x = 2$ . б) $4 x - 8 y = - x - y$ , $5 x = 7 y$ , $x = 1, 4 y$ ; $5, 6 y + 5 y = 3$ , $y = \frac{15}{53}$ , $x = \frac{21}{53}$ . Знаменники в обох випадках не дорівнюють нулю.
3) Нехай $\frac{1}{x} = a$ , $\frac{1}{y} = b$ : ${a + 4 b = 4, b - 2 a = 10.$ $b = 10 + 2 a$ , $a + 40 + 8 a = 4$ , $a = - 4$ , $b = 2$ . Отже, $x = - \frac{1}{4}$ , $y = \frac{1}{2}$ .
4) Нехай $x - y = t$ : $4 t^{2} + 7 t - 15 = 0$ , $D = 49 + 240 = 289$ , $t = \frac{- 7 \pm 17}{8}$ : $t_{1} = \frac{5}{4}$ , $t_{2} = - 3$ . а) $x = y + \frac{5}{4}$ : $2 y + \frac{5}{2} + 5 y = 1$ , $7 y = - \frac{3}{2}$ , $y = - \frac{3}{14}$ , $x = \frac{29}{28}$ . б) $x = y - 3$ : $2 y - 6 + 5 y = 1$ , $y = 1$ , $x = - 2$ .

Відповідь:

1) $(6; 3)$ , $(- 0, 75; - 1, 5)$ ; 2) $(2; - 1)$ , $(\frac{21}{53}; \frac{15}{53})$ ; 3) $(- 0, 25; 0, 5)$ ; 4) $(\frac{29}{28}; - \frac{3}{14})$ , $(- 2; 1)$ .

Розбір зрозумілий?