Завдання 13.14, 13. Системи рівнянь із двома змінними

Розв’язання крок за кроком

1. 1) Нехай $x+y=u$, $xy=v$: $\{\begin{array}{l}u-v=1,\\ uv=20.\end{array}$ $u=v+1$, $v^2+v-20=0$, $v_1=4$, $v_2=-5$; $u_1=5$, $u_2=-4$. а) $x+y=5$, $xy=4$: $x$ і $y$ — корені $t^2-5t+4=0$, тобто $1$ і $4$: $(1;4)$, $(4;1)$. б) $x+y=-4$, $xy=-5$: корені $t^2+4t-5=0$ — числа $1$ і $-5$: $(1;-5)$, $(-5;1)$.

2. 2) $x\ne 0$, $y\ne 0$. Нехай $\frac{y}{x}=t$: $t-\frac{1}{t}=\frac{21}{10}$, $10t^2-21t-10=0$, $D=441+400=841=29^2$, $t_1=\frac{5}{2}$, $t_2=-\frac{2}{5}$. а) $y=2,5x$: $3,5x=3$, $x=\frac{6}{7}$, $y=\frac{15}{7}$. б) $y=-0,4x$: $0,6x=3$, $x=5$, $y=-2$.

3. 3) Нехай $\frac{x}{y}=t$: $t+\frac{6}{t}=5$, $t^2-5t+6=0$, $t_1=2$, $t_2=3$. а) $x=2y$: $4y^2+8y^2-3y^2=18$, $9y^2=18$, $y=\pm \sqrt{2}$, $x=\pm 2\sqrt{2}$ (того самого знака). б) $x=3y$: $9y^2+12y^2-3y^2=18$, $18y^2=18$, $y=\pm 1$, $x=\pm 3$.

4. 4) Нехай $\frac{1}{x}=a$, $\frac{1}{y}=b$: $a+b=\frac{5}{6}$, $a-b=\frac{1}{6}$. Додаємо: $2a=1$, $a=\frac{1}{2}$, тоді $b=\frac{1}{3}$. Отже, $x=2$, $y=3$.

5. 5) Нехай $\frac{y}{x}=a$, $xy=b$: $\{\begin{array}{l}a+b=-10,\\ 5a-2b=13.\end{array}$ Множимо перше рівняння на $2$ і додаємо: $7a=-7$, $a=-1$, $b=-9$. Тоді $y=-x$, $-x^2=-9$, $x=\pm 3$: $(3;-3)$, $(-3;3)$.

6. 6) Нехай $xy=t$: $t^2+t-6=0$, $t_1=2$, $t_2=-3$. З другого рівняння $y=2x-3$. а) $x(2x-3)=2$, $2x^2-3x-2=0$, $D=25$, $x_1=2$, $x_2=-0,5$; $y_1=1$, $y_2=-4$. б) $x(2x-3)=-3$, $2x^2-3x+3=0$, $D=9-24<0$ — розв’язків немає.