Завдання 13.12, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.12

Система з дробами

Розв’яжіть систему: 1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, 2 x - y = 2;$ 2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1, x + 5 y = 3.$

Розв’язання

1) $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ . Множимо перше рівняння на $12 x y$ : $12 y - 12 x = x y$ . Підставляємо $y = 2 x - 2$ : $12 (2 x - 2) - 12 x = x (2 x - 2)$ , $12 x - 24 = 2 x^{2} - 2 x$ , $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ , $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 4$ ; $y_{1} = 4$ , $y_{2} = 6$ . Перевірка: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ , $\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ .
2) $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ . Множимо перше рівняння на $x y$ : $4 y + 3 x = x y$ . Підставляємо $x = 3 - 5 y$ : $4 y + 9 - 15 y = 3 y - 5 y^{2}$ , $5 y^{2} - 14 y + 9 = 0$ , $D = 196 - 180 = 16$ , $y = \frac{14 \pm 4}{10}$ : $y_{1} = 1$ , $y_{2} = 1, 8$ ; $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = - 6$ . Нулів серед значень немає, обидві пари підходять.

Відповідь:

1) $(3; 4)$ , $(4; 6)$ ; 2) $(- 2; 1)$ , $(- 6; 1, 8)$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.12 с. 125

Система з дробами

Умова

Розв’яжіть систему: 1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, 2 x - y = 2;$ 2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1, x + 5 y = 3.$

Що треба знати

Метод підстановки: з того рівняння, де це найпростіше (зазвичай з лінійного), виражаємо одну змінну через другу й підставляємо в інше рівняння. Отримуємо рівняння з однією змінною (часто квадратне); для кожного його кореня знаходимо відповідне значення другої змінної. Відповідь записуємо парами $(x; y)$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Помнож дробове рівняння на спільний знаменник, а потім підстав змінну з лінійного рівняння.

Розв’язання крок за кроком

1) $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ . Множимо перше рівняння на $12 x y$ : $12 y - 12 x = x y$ . Підставляємо $y = 2 x - 2$ : $12 (2 x - 2) - 12 x = x (2 x - 2)$ , $12 x - 24 = 2 x^{2} - 2 x$ , $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ , $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 4$ ; $y_{1} = 4$ , $y_{2} = 6$ . Перевірка: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ , $\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ .
2) $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ . Множимо перше рівняння на $x y$ : $4 y + 3 x = x y$ . Підставляємо $x = 3 - 5 y$ : $4 y + 9 - 15 y = 3 y - 5 y^{2}$ , $5 y^{2} - 14 y + 9 = 0$ , $D = 196 - 180 = 16$ , $y = \frac{14 \pm 4}{10}$ : $y_{1} = 1$ , $y_{2} = 1, 8$ ; $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = - 6$ . Нулів серед значень немає, обидві пари підходять.

Відповідь:

1) $(3; 4)$ , $(4; 6)$ ; 2) $(- 2; 1)$ , $(- 6; 1, 8)$ .

Розбір зрозумілий?