Завдання 13.10, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.10

Дотична до кола

Доведіть, що пряма $y - x = 3$ дотикається до кола $(x + 5)^{2} + y^{2} = 2$ , і знайдіть точку дотику.

Розв’язання

Спільні точки прямої й кола — розв’язки системи ${y = x + 3, (x + 5)^{2} + y^{2} = 2.$
$(x + 5)^{2} + (x + 3)^{2} = 2$ , $2 x^{2} + 16 x + 34 = 2$ , $x^{2} + 8 x + 16 = 0$ , $(x + 4)^{2} = 0$ , $x = - 4$ , $y = - 4 + 3 = - 1$ .
Система має єдиний розв’язок, отже, пряма й коло мають рівно одну спільну точку, тобто пряма — дотична до кола. Перевірка: $(- 4 + 5)^{2} + (- 1)^{2} = 2$ .

Відповідь:

Пряма дотикається до кола в точці $(- 4; - 1)$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.10 с. 125

Дотична до кола

Умова

Доведіть, що пряма $y - x = 3$ дотикається до кола $(x + 5)^{2} + y^{2} = 2$ , і знайдіть точку дотику.

Що треба знати

Щоб знайти спільні точки двох графіків, розв’язують систему з їхніх рівнянь: скільки розв’язків має система, стільки в графіків спільних точок. Коли обидва рівняння мають вигляд $y = \dots$ , праві частини прирівнюють; знак дискримінанта отриманого квадратного рівняння одразу показує кількість точок. Пряма, яка має з колом рівно одну спільну точку, є дотичною до кола.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розв’яжи систему з рівнянь прямої та кола: дотик означає рівно одну спільну точку.

Розв’язання крок за кроком

Спільні точки прямої й кола — розв’язки системи ${y = x + 3, (x + 5)^{2} + y^{2} = 2.$
$(x + 5)^{2} + (x + 3)^{2} = 2$ , $2 x^{2} + 16 x + 34 = 2$ , $x^{2} + 8 x + 16 = 0$ , $(x + 4)^{2} = 0$ , $x = - 4$ , $y = - 4 + 3 = - 1$ .
Система має єдиний розв’язок, отже, пряма й коло мають рівно одну спільну точку, тобто пряма — дотична до кола. Перевірка: $(- 4 + 5)^{2} + (- 1)^{2} = 2$ .

Відповідь:

Пряма дотикається до кола в точці $(- 4; - 1)$ .

Розбір зрозумілий?