Завдання 13.9, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.9

Точки перетину графіків

Без побудови знайдіть координати точок перетину: 1) прямої $3 x - y = 1$ і параболи $y = 3 x^{2} + 8 x - 3$ ; 2) прямої $2 x - y = 2$ і гіперболи $y = \frac{4}{x}$ ; 3) прямої $x + y = 1$ і кола $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 16$ ; 4) парабол $y = x^{2} - 4 x + 7$ і $y = 3 + 4 x - 2 x^{2}$ .

Розв’язання

1) $y = 3 x - 1$ ; $3 x^{2} + 8 x - 3 = 3 x - 1$ , $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ , $D = 49$ , $x = \frac{- 5 \pm 7}{6}$ : $x_{1} = \frac{1}{3}$ , $x_{2} = - 2$ ; $y_{1} = 0$ , $y_{2} = - 7$ .
2) $y = 2 x - 2$ ; $\frac{4}{x} = 2 x - 2$ ( $x \neq = 0$ ), $2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ , $x^{2} - x - 2 = 0$ , $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 1$ ; $y_{1} = 2$ , $y_{2} = - 4$ .
3) $y = 1 - x$ , тоді $y + 4 = 5 - x$ ; $(x - 1)^{2} + (5 - x)^{2} = 16$ , $2 x^{2} - 12 x + 26 = 16$ , $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ , $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$ ; $y_{1} = 0$ , $y_{2} = - 4$ .
4) $x^{2} - 4 x + 7 = 3 + 4 x - 2 x^{2}$ , $3 x^{2} - 8 x + 4 = 0$ , $D = 16$ , $x = \frac{8 \pm 4}{6}$ : $x_{1} = 2$ , $x_{2} = \frac{2}{3}$ ; $y_{1} = 4 - 8 + 7 = 3$ , $y_{2} = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 7 = \frac{43}{9}$ .

Відповідь:

1) $(\frac{1}{3}; 0)$ , $(- 2; - 7)$ ; 2) $(2; 2)$ , $(- 1; - 4)$ ; 3) $(1; 0)$ , $(5; - 4)$ ; 4) $(2; 3)$ , $(\frac{2}{3}; 4 \frac{7}{9})$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.9 с. 124

Точки перетину графіків

Умова

Що треба знати

Щоб знайти спільні точки двох графіків, розв’язують систему з їхніх рівнянь: скільки розв’язків має система, стільки в графіків спільних точок. Коли обидва рівняння мають вигляд $y = \dots$ , праві частини прирівнюють; знак дискримінанта отриманого квадратного рівняння одразу показує кількість точок. Пряма, яка має з колом рівно одну спільну точку, є дотичною до кола.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Склади систему з рівнянь двох графіків і розв’яжи її підстановкою.

Розв’язання крок за кроком

1) $y = 3 x - 1$ ; $3 x^{2} + 8 x - 3 = 3 x - 1$ , $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ , $D = 49$ , $x = \frac{- 5 \pm 7}{6}$ : $x_{1} = \frac{1}{3}$ , $x_{2} = - 2$ ; $y_{1} = 0$ , $y_{2} = - 7$ .
2) $y = 2 x - 2$ ; $\frac{4}{x} = 2 x - 2$ ( $x \neq = 0$ ), $2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ , $x^{2} - x - 2 = 0$ , $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 1$ ; $y_{1} = 2$ , $y_{2} = - 4$ .
3) $y = 1 - x$ , тоді $y + 4 = 5 - x$ ; $(x - 1)^{2} + (5 - x)^{2} = 16$ , $2 x^{2} - 12 x + 26 = 16$ , $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ , $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$ ; $y_{1} = 0$ , $y_{2} = - 4$ .
4) $x^{2} - 4 x + 7 = 3 + 4 x - 2 x^{2}$ , $3 x^{2} - 8 x + 4 = 0$ , $D = 16$ , $x = \frac{8 \pm 4}{6}$ : $x_{1} = 2$ , $x_{2} = \frac{2}{3}$ ; $y_{1} = 4 - 8 + 7 = 3$ , $y_{2} = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 7 = \frac{43}{9}$ .

Відповідь:

1) $(\frac{1}{3}; 0)$ , $(- 2; - 7)$ ; 2) $(2; 2)$ , $(- 1; - 4)$ ; 3) $(1; 0)$ , $(5; - 4)$ ; 4) $(2; 3)$ , $(\frac{2}{3}; 4 \frac{7}{9})$ .

Розбір зрозумілий?