Завдання 13.8, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.8

Система з лінійним рівнянням

Розв’яжіть систему: 1) ${x^{2} - x y + y^{2} = 63, y - x = 3;$ 2) ${x + 2 y = 1, x^{2} + x y + 2 y^{2} = 1;$ 3) ${(x - 1) (y - 2) = 2, x + y = 6;$ 4) ${5 x - 2 y = 3, 3 x^{2} - 8 y = - 5.$

Розв’язання

1) $y = x + 3$ ; $x^{2} - x (x + 3) + (x + 3)^{2} = 63$ , $x^{2} + 3 x + 9 = 63$ , $x^{2} + 3 x - 54 = 0$ , $D = 225$ , $x_{1} = 6$ , $x_{2} = - 9$ ; $y_{1} = 9$ , $y_{2} = - 6$ .
2) $x = 1 - 2 y$ ; $(1 - 2 y)^{2} + (1 - 2 y) y + 2 y^{2} = 1$ , $1 - 4 y + 4 y^{2} + y - 2 y^{2} + 2 y^{2} = 1$ , $4 y^{2} - 3 y = 0$ , $y (4 y - 3) = 0$ , $y_{1} = 0$ , $y_{2} = 0, 75$ ; $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 0, 5$ .
3) $y = 6 - x$ , тоді $y - 2 = 4 - x$ ; $(x - 1) (4 - x) = 2$ , $- x^{2} + 5 x - 4 = 2$ , $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ ; $y_{1} = 4$ , $y_{2} = 3$ .
4) $2 y = 5 x - 3$ , тож $8 y = 20 x - 12$ . Тоді $3 x^{2} - 20 x + 12 = - 5$ , $3 x^{2} - 20 x + 17 = 0$ , $D = 400 - 204 = 196$ , $x = \frac{20 \pm 14}{6}$ : $x_{1} = 1$ , $x_{2} = \frac{17}{3}$ . $y = \frac{5 x - 3}{2}$ : $y_{1} = 1$ , $y_{2} = \frac{38}{3}$ .

Відповідь:

1) $(6; 9)$ , $(- 9; - 6)$ ; 2) $(1; 0)$ , $(- 0, 5; 0, 75)$ ; 3) $(2; 4)$ , $(3; 3)$ ; 4) $(1; 1)$ , $(5 \frac{2}{3}; 12 \frac{2}{3})$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.8 с. 124

Система з лінійним рівнянням

Умова

Що треба знати

Метод підстановки: з того рівняння, де це найпростіше (зазвичай з лінійного), виражаємо одну змінну через другу й підставляємо в інше рівняння. Отримуємо рівняння з однією змінною (часто квадратне); для кожного його кореня знаходимо відповідне значення другої змінної. Відповідь записуємо парами $(x; y)$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Вирази одну змінну з лінійного рівняння, підстав і розв’яжи квадратне рівняння.

Розв’язання крок за кроком

1) $y = x + 3$ ; $x^{2} - x (x + 3) + (x + 3)^{2} = 63$ , $x^{2} + 3 x + 9 = 63$ , $x^{2} + 3 x - 54 = 0$ , $D = 225$ , $x_{1} = 6$ , $x_{2} = - 9$ ; $y_{1} = 9$ , $y_{2} = - 6$ .
2) $x = 1 - 2 y$ ; $(1 - 2 y)^{2} + (1 - 2 y) y + 2 y^{2} = 1$ , $1 - 4 y + 4 y^{2} + y - 2 y^{2} + 2 y^{2} = 1$ , $4 y^{2} - 3 y = 0$ , $y (4 y - 3) = 0$ , $y_{1} = 0$ , $y_{2} = 0, 75$ ; $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 0, 5$ .
3) $y = 6 - x$ , тоді $y - 2 = 4 - x$ ; $(x - 1) (4 - x) = 2$ , $- x^{2} + 5 x - 4 = 2$ , $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ ; $y_{1} = 4$ , $y_{2} = 3$ .
4) $2 y = 5 x - 3$ , тож $8 y = 20 x - 12$ . Тоді $3 x^{2} - 20 x + 12 = - 5$ , $3 x^{2} - 20 x + 17 = 0$ , $D = 400 - 204 = 196$ , $x = \frac{20 \pm 14}{6}$ : $x_{1} = 1$ , $x_{2} = \frac{17}{3}$ . $y = \frac{5 x - 3}{2}$ : $y_{1} = 1$ , $y_{2} = \frac{38}{3}$ .

Відповідь:

1) $(6; 9)$ , $(- 9; - 6)$ ; 2) $(1; 0)$ , $(- 0, 5; 0, 75)$ ; 3) $(2; 4)$ , $(3; 3)$ ; 4) $(1; 1)$ , $(5 \frac{2}{3}; 12 \frac{2}{3})$ .

Розбір зрозумілий?