Завдання 13.7, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.7

Система з лінійним рівнянням

Розв’яжіть систему: 1) ${3 x + 4 y = 24, x y = 12;$ 2) ${x^{2} - x y - y^{2} = 19, x - y = 7;$ 3) ${x + y = 5, (x - 3) (y + 5) = 6;$ 4) ${4 y - 3 x = 4, 5 x^{2} + 16 y = 60.$

Розв’язання

1) $x = \frac{24 - 4 y}{3}$ ; $\frac{( 24 - 4 y ) y}{3} = 12$ , $24 y - 4 y^{2} = 36$ , $y^{2} - 6 y + 9 = 0$ , $(y - 3)^{2} = 0$ , $y = 3$ ; $x = \frac{24 - 12}{3} = 4$ .
2) $x = y + 7$ ; $(y + 7)^{2} - (y + 7) y - y^{2} = 19$ , $- y^{2} + 7 y + 49 = 19$ , $y^{2} - 7 y - 30 = 0$ , $y_{1} = 10$ , $y_{2} = - 3$ ; $x_{1} = 17$ , $x_{2} = 4$ .
3) $y = 5 - x$ , тоді $y + 5 = 10 - x$ ; $(x - 3) (10 - x) = 6$ , $- x^{2} + 13 x - 30 = 6$ , $x^{2} - 13 x + 36 = 0$ , $x_{1} = 4$ , $x_{2} = 9$ ; $y_{1} = 1$ , $y_{2} = - 4$ .
4) З першого рівняння $4 y = 3 x + 4$ , тож $16 y = 12 x + 16$ . Тоді $5 x^{2} + 12 x + 16 = 60$ , $5 x^{2} + 12 x - 44 = 0$ , $D = 144 + 880 = 1024$ , $x = \frac{- 12 \pm 32}{10}$ : $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 4, 4$ . $y = \frac{3 x + 4}{4}$ : $y_{1} = 2, 5$ , $y_{2} = - 2, 3$ .

Відповідь:

1) $(4; 3)$ ; 2) $(17; 10)$ , $(4; - 3)$ ; 3) $(4; 1)$ , $(9; - 4)$ ; 4) $(2; 2, 5)$ , $(- 4, 4; - 2, 3)$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.7 с. 124

Система з лінійним рівнянням

Умова

Розв’яжіть систему: 1) ${3 x + 4 y = 24, x y = 12;$ 2) ${x^{2} - x y - y^{2} = 19, x - y = 7;$ 3) ${x + y = 5, (x - 3) (y + 5) = 6;$ 4) ${4 y - 3 x = 4, 5 x^{2} + 16 y = 60.$

Що треба знати

Метод підстановки: з того рівняння, де це найпростіше (зазвичай з лінійного), виражаємо одну змінну через другу й підставляємо в інше рівняння. Отримуємо рівняння з однією змінною (часто квадратне); для кожного його кореня знаходимо відповідне значення другої змінної. Відповідь записуємо парами $(x; y)$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Скористайся методом підстановки: вирази змінну з лінійного рівняння.

Розв’язання крок за кроком

1) $x = \frac{24 - 4 y}{3}$ ; $\frac{( 24 - 4 y ) y}{3} = 12$ , $24 y - 4 y^{2} = 36$ , $y^{2} - 6 y + 9 = 0$ , $(y - 3)^{2} = 0$ , $y = 3$ ; $x = \frac{24 - 12}{3} = 4$ .
2) $x = y + 7$ ; $(y + 7)^{2} - (y + 7) y - y^{2} = 19$ , $- y^{2} + 7 y + 49 = 19$ , $y^{2} - 7 y - 30 = 0$ , $y_{1} = 10$ , $y_{2} = - 3$ ; $x_{1} = 17$ , $x_{2} = 4$ .
3) $y = 5 - x$ , тоді $y + 5 = 10 - x$ ; $(x - 3) (10 - x) = 6$ , $- x^{2} + 13 x - 30 = 6$ , $x^{2} - 13 x + 36 = 0$ , $x_{1} = 4$ , $x_{2} = 9$ ; $y_{1} = 1$ , $y_{2} = - 4$ .
4) З першого рівняння $4 y = 3 x + 4$ , тож $16 y = 12 x + 16$ . Тоді $5 x^{2} + 12 x + 16 = 60$ , $5 x^{2} + 12 x - 44 = 0$ , $D = 144 + 880 = 1024$ , $x = \frac{- 12 \pm 32}{10}$ : $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 4, 4$ . $y = \frac{3 x + 4}{4}$ : $y_{1} = 2, 5$ , $y_{2} = - 2, 3$ .

Відповідь:

1) $(4; 3)$ ; 2) $(17; 10)$ , $(4; - 3)$ ; 3) $(4; 1)$ , $(9; - 4)$ ; 4) $(2; 2, 5)$ , $(- 4, 4; - 2, 3)$ .

Розбір зрозумілий?