За графіками визначте, скільки розв’язків має система: 1) {y=(x−5)2,xy=5; 2) {x2+y2=1,y−x=3; 3) {y−x2=1,x2+y=4x; 4) {x2+y2=6,xy=1.
Розв’язання
1) y=(x−5)2 — парабола: вершина (5;0), вітки вгору; точки (0;25), (3;4), (4;1), (6;1), (7;4). y=x5 — гіпербола в I і III чвертях: (0,2;25), (1;5), (5;1). При x<0 гіпербола від’ємна, а парабола — ні, тож там спільних точок немає. При x>0: x=0,2 — вище гіпербола (25>23,04), x=1 — парабола (16>5), x=4 — гіпербола (1,25>1), x=6 — парабола (1>65), далі парабола лише росте, а гіпербола спадає. Точок перетину 3 — розв’язків 3.
2) x2+y2=1 — коло з центром (0;0) і радіусом 1. y=x+3 — пряма через (0;3) і (−3;0). Відстань від початку координат до неї — висота прямокутного трикутника з катетами 3 і 3, тобто 23≈2,1>1: пряма проходить повз коло. (Перевірка: x2+(x+3)2=1, x2+3x+4=0, D=−7<0.) Розв’язків 0.
3) y=x2+1 — парабола з вершиною (0;1), вітки вгору. y=−x2+4x — парабола з вершиною (2;4), вітки вниз, нулі 0 і 4. При x=0 вище перша (1>0), при x=1 — друга (3>2), при x=2 — знову перша (5>4); лівіше від 0 і правіше від 2 перша парабола залишається вище. Точок перетину 2 — розв’язків 2.
4) x2+y2=6 — коло з центром (0;0), радіус 6≈2,4. y=x1 — гіпербола в I і III чвертях. Точка (1;1) гіперболи лежить усередині кола (1+1<6), а точки (0,2;5) і (5;0,2) — поза ним, тому вітка в I чверті перетинає коло двічі; симетрично — і вітка в III чверті. Розв’язків — 4.
Відповідь:
1) 3; 2) 0 (розв’язків немає); 3) 2; 4) 4.
Розбір зрозумілий?
13. Системи рівнянь із двома зміннимиЗавдання 13.6с. 124
Кількість розв’язків за графіками
Умова
За графіками визначте, скільки розв’язків має система: 1) {y=(x−5)2,xy=5; 2) {x2+y2=1,y−x=3; 3) {y−x2=1,x2+y=4x; 4) {x2+y2=6,xy=1.
Що треба знати
Графічний метод: в одній системі координат будуємо графіки обох рівнянь; координати кожної спільної точки графіків — розв’язок системи, а кількість спільних точок дорівнює кількості розв’язків. Часто потрібні графіки: y=xk — гіпербола (при k>0 вітки в I і III чвертях, при k<0 — у II і IV), x2+y2=R2 — коло радіуса R із центром у початку координат, y=ax2+bx+c — парабола. Точки, прочитані з рисунка, наближені, тому їх перевіряють підстановкою.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Побудуй ескізи обох графіків і порахуй спільні точки, порівнюючи значення функцій у кількох точках.
Розв’язання крок за кроком
1) y=(x−5)2 — парабола: вершина (5;0), вітки вгору; точки (0;25), (3;4), (4;1), (6;1), (7;4). y=x5 — гіпербола в I і III чвертях: (0,2;25), (1;5), (5;1). При x<0 гіпербола від’ємна, а парабола — ні, тож там спільних точок немає. При x>0: x=0,2 — вище гіпербола (25>23,04), x=1 — парабола (16>5), x=4 — гіпербола (1,25>1), x=6 — парабола (1>65), далі парабола лише росте, а гіпербола спадає. Точок перетину 3 — розв’язків 3.
2) x2+y2=1 — коло з центром (0;0) і радіусом 1. y=x+3 — пряма через (0;3) і (−3;0). Відстань від початку координат до неї — висота прямокутного трикутника з катетами 3 і 3, тобто 23≈2,1>1: пряма проходить повз коло. (Перевірка: x2+(x+3)2=1, x2+3x+4=0, D=−7<0.) Розв’язків 0.
3) y=x2+1 — парабола з вершиною (0;1), вітки вгору. y=−x2+4x — парабола з вершиною (2;4), вітки вниз, нулі 0 і 4. При x=0 вище перша (1>0), при x=1 — друга (3>2), при x=2 — знову перша (5>4); лівіше від 0 і правіше від 2 перша парабола залишається вище. Точок перетину 2 — розв’язків 2.
4) x2+y2=6 — коло з центром (0;0), радіус 6≈2,4. y=x1 — гіпербола в I і III чвертях. Точка (1;1) гіперболи лежить усередині кола (1+1<6), а точки (0,2;5) і (5;0,2) — поза ним, тому вітка в I чверті перетинає коло двічі; симетрично — і вітка в III чверті. Розв’язків — 4.
