Завдання 13.5, 13. Системи рівнянь із двома змінними

Розв’язання крок за кроком

1. 1) $x^2+y^2=3$ — коло з центром $(0;0)$ і радіусом $\sqrt{3}\approx 1,7$. Пряма $y=x$ проходить через центр кола, тому перетинає його у двох точках (кінцях діаметра). Розв’язків — 2.

2. 2) $x^2+y^2=4$ — коло з центром $(0;0)$ і радіусом $2$. $y=2-x^2$ — парабола: вершина $(0;2)$, вітки вниз, нулі $\pm \sqrt{2}$, точки $(\pm 1;1)$, $(\pm 2;-2)$. Вершина $(0;2)$ лежить на колі; точки $(\pm 1;1)$ — усередині кола ($1+1<4$), а $(\pm 2;-2)$ — поза ним ($4+4>4$), тож ліворуч і праворуч парабола ще раз перетинає коло. Спільних точок 3. (Перевірка: $x^2=2-y$, $y^2-y-2=0$, $y=2$ або $y=-1$; звідси $(0;2)$, $(\pm \sqrt{3};-1)$.) Розв’язків — 3.

3. 3) $y=\sqrt{x}$ — вітка параболи: точки $(0;0)$, $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$. $y=x-2$ — пряма через $(2;0)$ і $(4;2)$. Графіки мають одну спільну точку $(4;2)$: лівіше від неї пряма лежить нижче (при $x<2$ вона від’ємна, при $x=3$: $1<\sqrt{3}$), правіше — вище (при $x=9$: $7>3$). Розв’язок — 1.

4. 4) $y=x^2-3$ — парабола з вершиною $(0;-3)$, вітки вгору; $y=6-x^2$ — парабола з вершиною $(0;6)$, вітки вниз. Обидві симетричні відносно осі $y$. При $x=2$: $1<2$ (перша нижче), при $x=3$: $6>-3$ (перша вище) — отже, одна точка перетину між $2$ і $3$ і симетрична їй між $-3$ і $-2$. Розв’язків — 2.

5. 5) $y=-\frac{6}{x}$ — гіпербола в II і IV чвертях: $(1;-6)$, $(2;-3)$, $(3;-2)$, $(6;-1)$ і $(-1;6)$, $(-2;3)$, $(-3;2)$, $(-6;1)$. $y=2x-3$ — зростаюча пряма через $(0;-3)$ і $(1,5;0)$. При $x<0$ пряма нижче від $-3$, а гіпербола додатна; при $0<x<1,5$ гіпербола нижче від $-4$, а пряма вище від $-3$; при $x⩾1,5$ пряма невід’ємна, а гіпербола від’ємна. Спільних точок немає — розв’язків 0.

6. 6) $y=-x^2+4x-1$ — парабола: вершина $(2;3)$, вісь $x=2$, вітки вниз; точки $(0;-1)$, $(1;2)$, $(3;2)$, $(4;-1)$, $(-1;-6)$. $y=\frac{4}{x}$ — гіпербола в I і III чвертях: $(1;4)$, $(2;2)$, $(4;1)$, $(-0,5;-8)$, $(-1;-4)$, $(-4;-1)$. При $x=1$ вище гіпербола ($4>2$), при $x=2$ — парабола ($3>2$), при $x=4$ — знову гіпербола ($1>-1$): дві точки перетину в I чверті. При $x=-1$ парабола нижче ($-6<-4$), при $x=-0,5$ — вище ($-3,25>-8$): ще одна точка в III чверті. Розв’язків — 3.