Завдання 13.3, 13. Системи рівнянь із двома змінними — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 13.3

Метод підстановки

Розв’яжіть підстановкою систему: 1) ${y = x + 3, x^{2} - 2 y = 9;$ 2) ${x + y = 5, x y = 4;$ 3) ${y - x = 2, x^{2} - 2 x y = 3;$ 4) ${x - 4 y = 2, x y + 2 y = 8;$ 5) ${x y = 15, 2 x - y = 7;$ 6) ${x - y = 4, x^{2} + y^{2} = 8.$

Розв’язання

1) Підставляємо $y = x + 3$ : $x^{2} - 2 (x + 3) = 9$ , $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ , $x_{1} = 5$ , $x_{2} = - 3$ . Тоді $y_{1} = 8$ , $y_{2} = 0$ .
2) $y = 5 - x$ ; $x (5 - x) = 4$ , $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 4$ ; $y_{1} = 4$ , $y_{2} = 1$ .
3) $y = x + 2$ ; $x^{2} - 2 x (x + 2) = 3$ , $- x^{2} - 4 x - 3 = 0$ , $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ , $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 3$ ; $y_{1} = 1$ , $y_{2} = - 1$ .
4) $x = 4 y + 2$ ; $(4 y + 2) y + 2 y = 8$ , $4 y^{2} + 4 y - 8 = 0$ , $y^{2} + y - 2 = 0$ , $y_{1} = 1$ , $y_{2} = - 2$ ; $x_{1} = 6$ , $x_{2} = - 6$ .
5) $y = 2 x - 7$ ; $x (2 x - 7) = 15$ , $2 x^{2} - 7 x - 15 = 0$ , $D = 49 + 120 = 169$ , $x = \frac{7 \pm 13}{4}$ : $x_{1} = 5$ , $x_{2} = - 1, 5$ ; $y_{1} = 3$ , $y_{2} = - 10$ .
6) $x = y + 4$ ; $(y + 4)^{2} + y^{2} = 8$ , $2 y^{2} + 8 y + 8 = 0$ , $y^{2} + 4 y + 4 = 0$ , $(y + 2)^{2} = 0$ , $y = - 2$ ; $x = 2$ . Система має один розв’язок.

Відповідь:

1) $(5; 8)$ , $(- 3; 0)$ ; 2) $(1; 4)$ , $(4; 1)$ ; 3) $(- 1; 1)$ , $(- 3; - 1)$ ; 4) $(6; 1)$ , $(- 6; - 2)$ ; 5) $(5; 3)$ , $(- 1, 5; - 10)$ ; 6) $(2; - 2)$ .

Розбір зрозумілий?

13. Системи рівнянь із двома змінними Завдання 13.3 с. 123

Метод підстановки

Умова

Що треба знати

Метод підстановки: з того рівняння, де це найпростіше (зазвичай з лінійного), виражаємо одну змінну через другу й підставляємо в інше рівняння. Отримуємо рівняння з однією змінною (часто квадратне); для кожного його кореня знаходимо відповідне значення другої змінної. Відповідь записуємо парами $(x; y)$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

З лінійного рівняння вирази одну змінну через другу і підстав у друге рівняння.

Розв’язання крок за кроком

1) Підставляємо $y = x + 3$ : $x^{2} - 2 (x + 3) = 9$ , $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ , $x_{1} = 5$ , $x_{2} = - 3$ . Тоді $y_{1} = 8$ , $y_{2} = 0$ .
2) $y = 5 - x$ ; $x (5 - x) = 4$ , $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 4$ ; $y_{1} = 4$ , $y_{2} = 1$ .
3) $y = x + 2$ ; $x^{2} - 2 x (x + 2) = 3$ , $- x^{2} - 4 x - 3 = 0$ , $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ , $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 3$ ; $y_{1} = 1$ , $y_{2} = - 1$ .
4) $x = 4 y + 2$ ; $(4 y + 2) y + 2 y = 8$ , $4 y^{2} + 4 y - 8 = 0$ , $y^{2} + y - 2 = 0$ , $y_{1} = 1$ , $y_{2} = - 2$ ; $x_{1} = 6$ , $x_{2} = - 6$ .
5) $y = 2 x - 7$ ; $x (2 x - 7) = 15$ , $2 x^{2} - 7 x - 15 = 0$ , $D = 49 + 120 = 169$ , $x = \frac{7 \pm 13}{4}$ : $x_{1} = 5$ , $x_{2} = - 1, 5$ ; $y_{1} = 3$ , $y_{2} = - 10$ .
6) $x = y + 4$ ; $(y + 4)^{2} + y^{2} = 8$ , $2 y^{2} + 8 y + 8 = 0$ , $y^{2} + 4 y + 4 = 0$ , $(y + 2)^{2} = 0$ , $y = - 2$ ; $x = 2$ . Система має один розв’язок.

Відповідь:

1) $(5; 8)$ , $(- 3; 0)$ ; 2) $(1; 4)$ , $(4; 1)$ ; 3) $(- 1; 1)$ , $(- 3; - 1)$ ; 4) $(6; 1)$ , $(- 6; - 2)$ ; 5) $(5; 3)$ , $(- 1, 5; - 10)$ ; 6) $(2; - 2)$ .

Розбір зрозумілий?