За допомогою графіків розв’яжіть систему: 1) {y=x+2,xy=8; 2) {y=x2−4,2x+y=−1; 3) {x+y=3,x2+y2=9.
Розв’язання
1) y=x+2 — пряма через (−2;0) і (0;2). y=x8 — гіпербола в I і III чвертях: (1;8), (2;4), (4;2), (8;1) та (−1;−8), (−2;−4), (−4;−2), (−8;−1). Пряма перетинає обидві вітки: у точках (2;4) і (−4;−2). Перевірка: 4=2+2, 2⋅4=8; −2=−4+2, (−4)⋅(−2)=8.
2) y=x2−4 — парабола: вершина (0;−4), вісь x=0, вітки вгору, нулі ±2; точки (±1;−3), (±3;5). y=−2x−1 — пряма через (0;−1) і (1;−3). Спільні точки: (1;−3) і (−3;5). Перевірка: 2⋅1−3=−1, 1−4=−3; 2⋅(−3)+5=−1, 9−4=5.
3) y=3−x — пряма через (0;3) і (3;0). x2+y2=9 — коло з центром (0;0) і радіусом 3. Обидві точки (0;3) і (3;0) лежать на колі, тож пряма перетинає коло саме в них. Перевірка: 0+9=9, 9+0=9.
13. Системи рівнянь із двома зміннимиЗавдання 13.2с. 123
Графічний розв’язок системи
Умова
За допомогою графіків розв’яжіть систему: 1) {y=x+2,xy=8; 2) {y=x2−4,2x+y=−1; 3) {x+y=3,x2+y2=9.
Що треба знати
Графічний метод: в одній системі координат будуємо графіки обох рівнянь; координати кожної спільної точки графіків — розв’язок системи, а кількість спільних точок дорівнює кількості розв’язків. Часто потрібні графіки: y=xk — гіпербола (при k>0 вітки в I і III чвертях, при k<0 — у II і IV), x2+y2=R2 — коло радіуса R із центром у початку координат, y=ax2+bx+c — парабола. Точки, прочитані з рисунка, наближені, тому їх перевіряють підстановкою.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Побудуй обидва графіки в одній системі координат і запиши координати точок їх перетину, а потім перевір їх.
Розв’язання крок за кроком
1) y=x+2 — пряма через (−2;0) і (0;2). y=x8 — гіпербола в I і III чвертях: (1;8), (2;4), (4;2), (8;1) та (−1;−8), (−2;−4), (−4;−2), (−8;−1). Пряма перетинає обидві вітки: у точках (2;4) і (−4;−2). Перевірка: 4=2+2, 2⋅4=8; −2=−4+2, (−4)⋅(−2)=8.
2) y=x2−4 — парабола: вершина (0;−4), вісь x=0, вітки вгору, нулі ±2; точки (±1;−3), (±3;5). y=−2x−1 — пряма через (0;−1) і (1;−3). Спільні точки: (1;−3) і (−3;5). Перевірка: 2⋅1−3=−1, 1−4=−3; 2⋅(−3)+5=−1, 9−4=5.
3) y=3−x — пряма через (0;3) і (3;0). x2+y2=9 — коло з центром (0;0) і радіусом 3. Обидві точки (0;3) і (3;0) лежать на колі, тож пряма перетинає коло саме в них. Перевірка: 0+9=9, 9+0=9.
