За допомогою графіків розв’яжіть систему: 1) {x+y=5,xy=6; 2) {y+x2=3,y=x+1; 3) {x2+y2=25,xy=−12.
Розв’язання
1) y=5−x — пряма через точки (0;5) і (5;0). y=x6 — гіпербола з вітками в I і III чвертях: (1;6), (2;3), (3;2), (6;1) та (−1;−6), (−2;−3), (−3;−2), (−6;−1). Пряма перетинає праву вітку в точках (2;3) і (3;2), ліву вітку не перетинає. Перевірка: 2+3=5, 2⋅3=6 — правильно (для (3;2) так само).
2) y=3−x2 — парабола: вершина (0;3), вісь симетрії x=0, вітки вниз; точки (±1;2), (±2;−1), нулі x=±3≈±1,7. y=x+1 — пряма через (−1;0) і (0;1). Графіки перетинаються в точках (1;2) і (−2;−1). Перевірка: 2+1=3, 2=1+1; −1+4=3, −1=−2+1 — правильно.
3) x2+y2=25 — коло з центром (0;0) і радіусом 5. y=−x12 — гіпербола з вітками в II і IV чвертях: (1;−12), (2;−6), (3;−4), (4;−3), (6;−2) і симетричні їм (−1;12), (−2;6), (−3;4), (−4;3), (−6;2). Кожна вітка перетинає коло двічі: (3;−4), (4;−3), (−3;4), (−4;3). Перевірка для (3;−4): 9+16=25, 3⋅(−4)=−12; для інших точок — аналогічно.
13. Системи рівнянь із двома зміннимиЗавдання 13.1с. 123
Графічний розв’язок системи
Умова
За допомогою графіків розв’яжіть систему: 1) {x+y=5,xy=6; 2) {y+x2=3,y=x+1; 3) {x2+y2=25,xy=−12.
Що треба знати
Графічний метод: в одній системі координат будуємо графіки обох рівнянь; координати кожної спільної точки графіків — розв’язок системи, а кількість спільних точок дорівнює кількості розв’язків. Часто потрібні графіки: y=xk — гіпербола (при k>0 вітки в I і III чвертях, при k<0 — у II і IV), x2+y2=R2 — коло радіуса R із центром у початку координат, y=ax2+bx+c — парабола. Точки, прочитані з рисунка, наближені, тому їх перевіряють підстановкою.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Запиши кожне рівняння у вигляді, зручному для побудови (y=… або рівняння кола), побудуй графіки й знайди їхні спільні точки.
Розв’язання крок за кроком
1) y=5−x — пряма через точки (0;5) і (5;0). y=x6 — гіпербола з вітками в I і III чвертях: (1;6), (2;3), (3;2), (6;1) та (−1;−6), (−2;−3), (−3;−2), (−6;−1). Пряма перетинає праву вітку в точках (2;3) і (3;2), ліву вітку не перетинає. Перевірка: 2+3=5, 2⋅3=6 — правильно (для (3;2) так само).
2) y=3−x2 — парабола: вершина (0;3), вісь симетрії x=0, вітки вниз; точки (±1;2), (±2;−1), нулі x=±3≈±1,7. y=x+1 — пряма через (−1;0) і (0;1). Графіки перетинаються в точках (1;2) і (−2;−1). Перевірка: 2+1=3, 2=1+1; −1+4=3, −1=−2+1 — правильно.
3) x2+y2=25 — коло з центром (0;0) і радіусом 5. y=−x12 — гіпербола з вітками в II і IV чвертях: (1;−12), (2;−6), (3;−4), (4;−3), (6;−2) і симетричні їм (−1;12), (−2;6), (−3;4), (−4;3), (−6;2). Кожна вітка перетинає коло двічі: (3;−4), (4;−3), (−3;4), (−4;3). Перевірка для (3;−4): 9+16=25, 3⋅(−4)=−12; для інших точок — аналогічно.
