Завдання 12.34, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.34

Графіки рівнянь

Побудуйте графік рівняння: 1) $2 x - 3 y = 6$ ; 2) $x y = - 8$ ; 3) $(x - 2)^{2} + y^{2} = 0$ ; 4) $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ ; 5) $x^{2} + 2 x + y^{2} - 6 y + 10 = 0$ ; 6) $(x - 3) (y - x) = 0$ .

Розв’язання

1) $y = \frac{2}{3} x - 2$ — пряма. Точки: $(0; - 2)$ , $(3; 0)$ , $(6; 2)$ ; проводимо через них пряму.
2) $y = - \frac{8}{x}$ , $x \neq = 0$ — гіпербола з вітками в II і IV чвертях. Точки: $(1; - 8)$ , $(2; - 4)$ , $(4; - 2)$ , $(8; - 1)$ і симетричні їм відносно початку координат $(- 1; 8)$ , $(- 2; 4)$ , $(- 4; 2)$ , $(- 8; 1)$ .
3) Сума квадратів дорівнює нулю лише при $x - 2 = 0$ і $y = 0$ . Графік — одна точка $(2; 0)$ .
4) Коло з центром $(2; - 1)$ і радіусом $3$ . Опорні точки: $(5; - 1)$ , $(- 1; - 1)$ , $(2; 2)$ , $(2; - 4)$ .
5) Виділяємо повні квадрати: $(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 6 y + 9) = 0$ , тобто $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$ . Це можливо лише при $x = - 1$ , $y = 3$ : графік — точка $(- 1; 3)$ .
6) Добуток дорівнює нулю, коли $x = 3$ або $y = x$ . Графік — дві прямі: вертикальна пряма $x = 3$ і пряма $y = x$ (бісектриса I і III чвертей), які перетинаються в точці $(3; 3)$ .

Відповідь:

1) Пряма через $(0; - 2)$ і $(3; 0)$ ; 2) гіпербола $y = - \frac{8}{x}$ (II і IV чверті); 3) точка $(2; 0)$ ; 4) коло з центром $(2; - 1)$ , $r = 3$ ; 5) точка $(- 1; 3)$ ; 6) прямі $x = 3$ і $y = x$ .

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.34 с. 118

Графіки рівнянь

Умова

Що треба знати

Графік рівняння з двома змінними — множина всіх точок $(x; y)$ , координати яких задовольняють рівняння. Рівняння $a x + b y = c$ (коли $a$ і $b$ не дорівнюють нулю одночасно) задає пряму, $x y = k$ ( $k \neq = 0$ ) — гіперболу, $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ — коло з центром $(a; b)$ і радіусом $r$ . Сума квадратів дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з них дорівнює нулю.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Перетвори рівняння до знайомого вигляду: пряма, гіпербола, коло або точка.

Розв’язання крок за кроком

1) $y = \frac{2}{3} x - 2$ — пряма. Точки: $(0; - 2)$ , $(3; 0)$ , $(6; 2)$ ; проводимо через них пряму.
2) $y = - \frac{8}{x}$ , $x \neq = 0$ — гіпербола з вітками в II і IV чвертях. Точки: $(1; - 8)$ , $(2; - 4)$ , $(4; - 2)$ , $(8; - 1)$ і симетричні їм відносно початку координат $(- 1; 8)$ , $(- 2; 4)$ , $(- 4; 2)$ , $(- 8; 1)$ .
3) Сума квадратів дорівнює нулю лише при $x - 2 = 0$ і $y = 0$ . Графік — одна точка $(2; 0)$ .
4) Коло з центром $(2; - 1)$ і радіусом $3$ . Опорні точки: $(5; - 1)$ , $(- 1; - 1)$ , $(2; 2)$ , $(2; - 4)$ .
5) Виділяємо повні квадрати: $(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 6 y + 9) = 0$ , тобто $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$ . Це можливо лише при $x = - 1$ , $y = 3$ : графік — точка $(- 1; 3)$ .
6) Добуток дорівнює нулю, коли $x = 3$ або $y = x$ . Графік — дві прямі: вертикальна пряма $x = 3$ і пряма $y = x$ (бісектриса I і III чвертей), які перетинаються в точці $(3; 3)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?