Завдання 12.30, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.30

Нерівність для всіх x

При яких $a$ нерівність правильна для всіх дійсних $x$ : 1) $x^{2} - 4 x + a > 0$ ; 2) $x^{2} + (a - 1) x + 1 - a - a^{2} ⩾ 0$ ?

Розв’язання

1) Вітки параболи вгору, тому $x^{2} - 4 x + a > 0$ при всіх $x$ тоді й лише тоді, коли парабола не має спільних точок з віссю абсцис: $D = 16 - 4 a < 0$ , звідки $a > 4$ .
2) Вітки вгору; нерівність $⩾ 0$ правильна при всіх $x$ , якщо $D ⩽ 0$ . $D = (a - 1)^{2} - 4 (1 - a - a^{2}) = a^{2} - 2 a + 1 - 4 + 4 a + 4 a^{2} = 5 a^{2} + 2 a - 3$ . Розв’язуємо $5 a^{2} + 2 a - 3 ⩽ 0$ : $D_{1} = 4 + 60 = 64$ , $a = \frac{- 2 \pm 8}{10}$ , нулі $- 1$ і $0, 6$ ; вітки вгору, тож $- 1 ⩽ a ⩽ 0, 6$ .

Відповідь:

1) $(4; + \infty)$ ; 2) $[- 1; 0, 6]$ .

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.30 с. 117

Нерівність для всіх x

Умова

При яких $a$ нерівність правильна для всіх дійсних $x$ : 1) $x^{2} - 4 x + a > 0$ ; 2) $x^{2} + (a - 1) x + 1 - a - a^{2} ⩾ 0$ ?

Що треба знати

Квадратне рівняння має два різні корені, якщо $D > 0$ , один — якщо $D = 0$ , і не має коренів, якщо $D < 0$ . При $a > 0$ нерівність $a x^{2} + b x + c > 0$ правильна для всіх $x$ тоді й лише тоді, коли $D < 0$ , а нерівність $a x^{2} + b x + c ⩾ 0$ — коли $D ⩽ 0$ (парабола не опускається нижче осі абсцис).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Старший коефіцієнт додатний, тож парабола має лежати над віссю абсцис: накладай умову на дискримінант.

Розв’язання крок за кроком

1) Вітки параболи вгору, тому $x^{2} - 4 x + a > 0$ при всіх $x$ тоді й лише тоді, коли парабола не має спільних точок з віссю абсцис: $D = 16 - 4 a < 0$ , звідки $a > 4$ .
2) Вітки вгору; нерівність $⩾ 0$ правильна при всіх $x$ , якщо $D ⩽ 0$ . $D = (a - 1)^{2} - 4 (1 - a - a^{2}) = a^{2} - 2 a + 1 - 4 + 4 a + 4 a^{2} = 5 a^{2} + 2 a - 3$ . Розв’язуємо $5 a^{2} + 2 a - 3 ⩽ 0$ : $D_{1} = 4 + 60 = 64$ , $a = \frac{- 2 \pm 8}{10}$ , нулі $- 1$ і $0, 6$ ; вітки вгору, тож $- 1 ⩽ a ⩽ 0, 6$ .

Відповідь:

1) $(4; + \infty)$ ; 2) $[- 1; 0, 6]$ .

Розбір зрозумілий?