Завдання 12.29, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.29

Добуток з квадратним коренем

Розв’яжіть нерівність: 1) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} > 0$ ; 2) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} ⩾ 0$ ; 3) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} < 0$ ; 4) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} ⩽ 0$ .

Розв’язання

Корінь має зміст при $14 + 5 x - x^{2} ⩾ 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x - 14 ⩽ 0$ : нулі $- 2$ і $7$ ( $D = 81$ ), тож $- 2 ⩽ x ⩽ 7$ . На кінцях $x = - 2$ і $x = 7$ корінь дорівнює нулю, на $(- 2; 7)$ він додатний.
1) Потрібно $- 2 < x < 7$ і $x - 3 > 0$ , тобто $3 < x < 7$ .
2) На $[- 2; 7]$ умова $x - 3 ⩾ 0$ дає $3 ⩽ x ⩽ 7$ ; додаємо нуль кореня $x = - 2$ , де добуток дорівнює $0$ .
3) Потрібно $- 2 < x < 7$ і $x - 3 < 0$ , тобто $- 2 < x < 3$ .
4) На $[- 2; 7]$ умова $x - 3 ⩽ 0$ дає $- 2 ⩽ x ⩽ 3$ ; додаємо нуль кореня $x = 7$ .

Відповідь:

1) $(3; 7)$ ; 2) ${- 2} \cup [3; 7]$ ; 3) $(- 2; 3)$ ; 4) $[- 2; 3] \cup {7}$ .

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.29 с. 117

Добуток з квадратним коренем

Умова

Розв’яжіть нерівність: 1) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} > 0$ ; 2) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} ⩾ 0$ ; 3) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} < 0$ ; 4) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} ⩽ 0$ .

Що треба знати

Вираз $u$ має зміст лише при $u ⩾ 0$ і завжди невід’ємний; він дорівнює нулю тільки там, де $u = 0$ . Тому в точках, де $u > 0$ , знак добутку $f (x) u$ збігається зі знаком $f (x)$ , а в нулях $u$ добуток дорівнює нулю — ці точки входять у відповідь лише для нестрогих нерівностей.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди проміжок, де корінь має зміст, і його кінці, де корінь дорівнює нулю; всередині знак визначає множник x − 3.

Розв’язання крок за кроком

Корінь має зміст при $14 + 5 x - x^{2} ⩾ 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x - 14 ⩽ 0$ : нулі $- 2$ і $7$ ( $D = 81$ ), тож $- 2 ⩽ x ⩽ 7$ . На кінцях $x = - 2$ і $x = 7$ корінь дорівнює нулю, на $(- 2; 7)$ він додатний.
1) Потрібно $- 2 < x < 7$ і $x - 3 > 0$ , тобто $3 < x < 7$ .
2) На $[- 2; 7]$ умова $x - 3 ⩾ 0$ дає $3 ⩽ x ⩽ 7$ ; додаємо нуль кореня $x = - 2$ , де добуток дорівнює $0$ .
3) Потрібно $- 2 < x < 7$ і $x - 3 < 0$ , тобто $- 2 < x < 3$ .
4) На $[- 2; 7]$ умова $x - 3 ⩽ 0$ дає $- 2 ⩽ x ⩽ 3$ ; додаємо нуль кореня $x = 7$ .

Відповідь:

1) $(3; 7)$ ; 2) ${- 2} \cup [3; 7]$ ; 3) $(- 2; 3)$ ; 4) $[- 2; 3] \cup {7}$ .

Розбір зрозумілий?