Завдання 12.26, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.26

Нерівність з модулем

Знайдіть множину розв’язків нерівності: 1) $x^{2} - 8∣ x ∣ - 33 < 0$ ; 2) $8 x^{2} + 7∣ x ∣ - 1 ⩾ 0$ .

Розв’язання

1) Нехай $t = ∣ x ∣ ⩾ 0$ : $t^{2} - 8 t - 33 < 0$ . $D = 64 + 132 = 196$ , нулі $t = - 3$ і $t = 11$ , тож $- 3 < t < 11$ . З урахуванням $t ⩾ 0$ : $0 ⩽ ∣ x ∣ < 11$ , звідки $- 11 < x < 11$ .
2) $t = ∣ x ∣$ : $8 t^{2} + 7 t - 1 ⩾ 0$ . $D = 49 + 32 = 81$ , $t = \frac{- 7 \pm 9}{16}$ : нулі $- 1$ і $\frac{1}{8}$ ; тож $t ⩽ - 1$ або $t ⩾ \frac{1}{8}$ . Оскільки $t ⩾ 0$ , лишається $∣ x ∣ ⩾ \frac{1}{8}$ : $x ⩽ - \frac{1}{8}$ або $x ⩾ \frac{1}{8}$ .

Відповідь:

1) $(- 11; 11)$ ; 2) $(- \infty; - \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8}; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.26 с. 117

Нерівність з модулем

Умова

Знайдіть множину розв’язків нерівності: 1) $x^{2} - 8∣ x ∣ - 33 < 0$ ; 2) $8 x^{2} + 7∣ x ∣ - 1 ⩾ 0$ .

Що треба знати

Оскільки $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ , заміна $t = ∣ x ∣$ , де $t ⩾ 0$ , перетворює нерівність на квадратну відносно $t$ . Отриманий проміжок для $t$ перетинають з умовою $t ⩾ 0$ і повертаються до $x$ : $∣ x ∣ ⩽ m \Leftrightarrow - m ⩽ x ⩽ m$ , $∣ x ∣ ⩾ m \Leftrightarrow x ⩽ - m$ або $x ⩾ m$ (для $m > 0$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Заміни $∣ x ∣ = t$ , де $t ⩾ 0$ , і врахуй, що $x^{2} = t^{2}$ .

Розв’язання крок за кроком

1) Нехай $t = ∣ x ∣ ⩾ 0$ : $t^{2} - 8 t - 33 < 0$ . $D = 64 + 132 = 196$ , нулі $t = - 3$ і $t = 11$ , тож $- 3 < t < 11$ . З урахуванням $t ⩾ 0$ : $0 ⩽ ∣ x ∣ < 11$ , звідки $- 11 < x < 11$ .
2) $t = ∣ x ∣$ : $8 t^{2} + 7 t - 1 ⩾ 0$ . $D = 49 + 32 = 81$ , $t = \frac{- 7 \pm 9}{16}$ : нулі $- 1$ і $\frac{1}{8}$ ; тож $t ⩽ - 1$ або $t ⩾ \frac{1}{8}$ . Оскільки $t ⩾ 0$ , лишається $∣ x ∣ ⩾ \frac{1}{8}$ : $x ⩽ - \frac{1}{8}$ або $x ⩾ \frac{1}{8}$ .

Відповідь:

1) $(- 11; 11)$ ; 2) $(- \infty; - \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8}; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?